Problemas Resueltos de Física: Oscilaciones y Ondas Transversales

Problema 1: Oscilación de un Resorte

Un bloque de 0,5 kg está unido a un resorte (masa despreciable) sobre un plano horizontal. El otro extremo del resorte está fijo. Se requiere una fuerza de 5 N para estirar el resorte 4 cm. Si se suelta el sistema masa-resorte, calcula:

1. El trabajo realizado por la fuerza elástica desde x = 4 cm hasta x = 0 cm.
2. La velocidad del bloque cuando está a 2 cm de la posición de equilibrio.
3. La frecuencia de oscilación si inicialmente se estira 6 cm.

Solución

a) Cálculo del trabajo:

• Masa (m) = 0,5 kg
• Fuerza (F) = 5 N para x = 4 cm = 0,04 m
• Amplitud (A) = 0,04 m

La fuerza elástica es conservativa, por lo tanto el trabajo (W) es igual a la variación negativa de la energía potencial elástica:

W = -ΔEp = - (Ep_f - Ep_i) = Ep_i - Ep_f = ½ kx_i² - ½ kx_f²

Como la posición final es x_f=0, entonces:

W = ½ kA²

Calculamos la constante del resorte (k) usando la Ley de Hooke:

F = kx => k = F/x = 5 N / 0,04 m = 125 N/m

Sustituyendo:

W = ½ * 125 N/m * (0,04 m)² = 0,1 J

b) Cálculo de la velocidad:

Usamos el principio de conservación de la energía mecánica (Em):

Em = Ep + Ec = constante = 0,1 J

En x = 2 cm = 0,02 m:

0,1 J = ½ * 125 N/m * (0,02 m)² + ½ * 0,5 kg * v²

Despejando la velocidad (v):

v = √( (0,1 J - 0,025 J) * 2 / 0,5 kg ) = √0,3 = 0,55 m/s

c) Cálculo de la frecuencia:

La frecuencia (f) se relaciona con la frecuencia angular (ω) y la constante del resorte (k) y la masa (m):

ω = √(k/m)

f = ω / (2π) = (1/(2π)) * √(k/m) = (1/(2π)) * √(125 N/m / 0,5 kg) = 2,5 Hz

Problema 2: Onda Transversal en una Cuerda

La ecuación de una onda transversal en una cuerda es: y = 0,1 sen [2π (0,4t – 6,25x)]. Determina:

1. Amplitud, longitud de onda, frecuencia, constante de propagación y velocidad de propagación.
2. Velocidad y aceleración transversal de las partículas en x = 0, t = T/2.

Solución

a) Parámetros de la onda:

Comparando con la ecuación general de una onda y(x,t) = A sen(ωt - kx):

• Amplitud (A) = 0,1 m
• Frecuencia angular (ω) = 2π * 0,4 = 0,8π rad/s
• Número de onda (k) = 2π * 6,25 = 12,5π rad/m

Calculamos:

• Periodo (T) = 2π / ω = 2π / (0,8π) = 2,5 s
• Frecuencia (f) = 1/T = 1/2,5 s = 0,4 Hz
• Longitud de onda (λ) = 2π / k = 2π / (12,5π) = 0,16 m
• Velocidad de propagación (Vp) = λ / T = 0,16 m / 2,5 s = 0,064 m/s

b) Velocidad y aceleración transversal:

La velocidad transversal (v) es la derivada de la posición (y) respecto al tiempo (t):

v(x,t) = ∂y/∂t = 0,1 * 0,8π * cos(0,8πt - 12,5πx)

En x = 0 y t = T/2 = 2,5 s / 2 = 1,25 s:

v(0, 1,25) = 0,08π * cos(0,8π * 1,25 - 0) = 0,08π * cos(π) = -0,08π m/s ≈ -0,25 m/s

La aceleración no se solicita, pero se calcula derivando la velocidad.

Problema 3: Onda en una Cuerda con Diferentes Puntos

Una onda se transmite por una cuerda. En x = 0, la oscilación es y = 0,1 cos(10πt). En x = 0,03 m, la oscilación es y = 0,1 cos(10πt - π/4). Calcula:

1. Constante de propagación, velocidad de propagación y longitud de onda.
2. Velocidad de oscilación de un punto cualquiera.

Solución

a) Parámetros de la onda:

Comparando las ecuaciones, vemos que la frecuencia angular (ω) es la misma (10π rad/s) en ambos puntos. La diferencia de fase (Δφ) entre los dos puntos es π/4.

La diferencia de fase se relaciona con la constante de propagación (k) y la distancia (Δx) entre los puntos:

Δφ = k * Δx

π/4 = k * 0,03 m => k = (π/4) / 0,03 m = π / 0,12 rad/m ≈ 26,2 rad/m

Longitud de onda (λ) = 2π / k = 2π / (π/0,12) = 0,24 m

Periodo (T) = 2π / ω = 2π / (10π) = 0,2 s

Velocidad de propagación (Vp) = λ / T = 0,24 m / 0,2 s = 1,2 m/s

b) Velocidad de oscilación:

La ecuación de onda completa es: y(x,t) = 0,1 cos(10πt - (π/0,12)x)

La velocidad de oscilación es la derivada de y(x,t) respecto a t:

v(x,t) = ∂y/∂t = -0,1 * 10π * sin(10πt - (π/0,12)x) = -π sin(10πt - (25/3)πx) m/s

Problema 4: Onda Transversal con Amplitud, Frecuencia y Velocidad

Una onda transversal en una cuerda tensa tiene una amplitud de 5 cm, una frecuencia de 50 Hz y una velocidad de propagación de 20 m/s. Calcula:

1. La ecuación de onda, y(x,t).
2. Los valores de tiempo para los cuales y(x,t) es máxima en x = 1 m.

Solución

a) Ecuación de onda:

• Amplitud (A) = 5 cm = 0,05 m
• Frecuencia (f) = 50 Hz
• Velocidad de propagación (Vp) = 20 m/s

Calculamos:

• Frecuencia angular (ω) = 2πf = 2π * 50 Hz = 100π rad/s
• Longitud de onda (λ) = Vp / f = 20 m/s / 50 Hz = 0,4 m
• Número de onda (k) = 2π / λ = 2π / 0,4 m = 5π rad/m

La ecuación de onda general es: y(x,t) = A sen(ωt - kx + φ₀)

Suponiendo fase inicial φ₀ = 0:

y(x,t) = 0,05 sen(100πt - 5πx) (en metros)

b) Tiempos para y(x,t) máxima:

y(x,t) es máxima cuando el seno vale 1:

sen(100πt - 5πx) = 1

Esto ocurre cuando el argumento del seno es igual a π/2 + 2nπ, donde n es un entero (0, 1, 2, ...):

100πt - 5πx = π/2 + 2nπ

En x = 1 m:

100πt - 5π = π/2 + 2nπ

100t - 5 = 1/2 + 2n

100t = 5,5 + 2n

t = (5,5 + 2n) / 100 = 0,055 + 0,02n (en segundos), con n = 0, 1, 2, ...