Problemas Resueltos de Cinemática: Velocidad y Aceleración

Problemas de Cinemática Resueltos

Problema 2: Viaje en Autobús

María Isabel coge el autobús a las 7:50 de la mañana para ir al instituto. Si el autobús va a 70 km/h y la distancia entre la parada y el instituto es de 13 km, ¿a qué hora llega María Isabel al instituto?

Datos:

• Velocidad (v) = 70 km/h
• Distancia (x) = 13 km
• Tiempo (t) = ?

Fórmula: La velocidad es distancia dividida por tiempo: v = x / t. Despejamos el tiempo: t = x / v.

Cálculo:

1. Calculamos el tiempo en horas: t = 13 km / 70 km/h ≈ 0.186 horas.
2. Convertimos el tiempo a minutos: 0.186 horas * 60 min/hora ≈ 11.14 minutos. Redondeamos a 11 minutos.
3. Sumamos el tiempo de viaje a la hora de salida: 7:50 + 11 minutos = 8:01.

Respuesta: María Isabel llega al instituto aproximadamente a las 8:01.

Problema 3: Despegue de Nave Espacial

Una nave espacial se lanza y acelera durante 2 minutos con una aceleración de 40 m/s². ¿A qué velocidad despega la nave? (Se asume que parte del reposo).

Datos:

• Tiempo (t) = 2 min = 2 * 60 s = 120 s
• Aceleración (a) = 40 m/s²
• Velocidad inicial (v₀) = 0 m/s (parte del reposo)
• Velocidad final (v) = ?

Fórmula: Para un movimiento con aceleración constante: v = v₀ + a * t.

Cálculo: v = 0 m/s + (40 m/s²) * (120 s) = 4800 m/s.

Respuesta: La nave alcanza una velocidad de 4800 m/s.

Problema 4: Distancia de la Nave

Si la nave del problema anterior enciende un foco de luz y la señal tarda 5 días en llegar a la Tierra, ¿a qué distancia está ya la nave? (Velocidad de la luz, c ≈ 300,000 km/s).

Datos:

• Tiempo (t) = 5 días
• Velocidad de la luz (v = c) = 300,000 km/s
• Distancia (x) = ?

Cálculo:

1. Convertimos el tiempo a segundos: t = 5 días * (24 horas/día) * (3600 segundos/hora) = 432,000 s.
2. Calculamos la distancia usando la fórmula x = v * t (asumiendo velocidad constante de la luz).
3. x = (300,000 km/s) * (432,000 s) = 129,600,000,000 km = 1.296 x 10¹¹ km.

Respuesta: La nave está a una distancia de 1.296 x 10¹¹ km de la Tierra.

Problema 5: Frenada de un Coche

Si un coche circula a 100 km/h y frena hasta pararse en 4 s:

a) ¿Qué tipo de movimiento realiza el móvil?

b) ¿Qué aceleración (de frenado) lleva?

Respuestas:

a) Realiza un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), específicamente, un movimiento decelerado o frenado.

b) Datos:

• Velocidad inicial (v₀) = 100 km/h
• Velocidad final (v) = 0 km/h (se para)
• Tiempo (t) = 4 s
• Aceleración (a) = ?

Cálculo:

1. Convertimos la velocidad inicial a m/s: v₀ = 100 km/h / 3.6 ≈ 27.8 m/s.
2. Usamos la fórmula de aceleración: a = (v - v₀) / t.
3. a = (0 m/s - 27.8 m/s) / 4 s ≈ -6.95 m/s².

La aceleración es de -6.95 m/s² (el signo negativo indica que es una deceleración).

Problema 6: Juego del Pañuelo

Jugamos al juego del pañuelo en el patio. La distancia entre los equipos es de 200 m y Jacobo se coloca en medio con el pañuelo (a 100 m de cada equipo). Al decir el nombre, Lucía empieza a correr a 3 m/s. Cuatro segundos después empieza a correr Arturo, que estaba despistado, a 3.5 m/s.

a) ¿Quién atrapará el pañuelo?

b) Indica el tiempo de llegada de los dos corredores.

c) ¿A qué velocidad tiene que ir Arturo para llegar a la vez que Lucía?

Datos:

• Distancia a recorrer (x) = 100 m
• Velocidad Lucía (v_L) = 3 m/s
• Velocidad Arturo (v_A) = 3.5 m/s
• Retraso de Arturo = 4 s

Cálculos y Respuestas:

a) y b) Tiempos de llegada:

• Tiempo Lucía: t_L = x / v_L = 100 m / 3 m/s ≈ 33.33 s.
• Tiempo de carrera de Arturo: t_{carrera A} = x / v_A = 100 m / 3.5 m/s ≈ 28.57 s.
• Tiempo total de Arturo (contando el retraso): t_A = t_{carrera A} + 4 s = 28.57 s + 4 s = 32.57 s.

Comparando los tiempos totales: t_A (32.57 s) < t_L (33.33 s). Por lo tanto, Arturo atrapa el pañuelo.

c) Velocidad de Arturo para llegar a la vez que Lucía:

• Arturo necesita llegar en el mismo tiempo que Lucía (33.33 s).
• Como sale 4 segundos más tarde, su tiempo de carrera debe ser: t_{objetivo A} = t_L - 4 s = 33.33 s - 4 s = 29.33 s.
• La velocidad necesaria es: v_{A_nuevo} = x / t_{objetivo A} = 100 m / 29.33 s ≈ 3.41 m/s.

Arturo tendría que correr a unos 3.41 m/s para llegar exactamente a la vez que Lucía.

Problema 7: Móvil con Velocidad Constante

Un móvil se ha desplazado sin acelerar ni frenar desde la posición inicial x₀ = 800 m hasta la posición final x₁ = 200 m en un tiempo de 10 s.

a) ¿Qué tipo de movimiento representa? ¿Por qué?

b) Calcula la velocidad media del móvil. Exprésala en m/s y km/h.

c) Escribe las ecuaciones del movimiento del objeto.

d) Representa sus gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo.

Respuestas:

a) Representa un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), porque se indica que no acelera ni frena, lo que implica que su velocidad es constante.

b) Cálculo de la velocidad media:

• Desplazamiento (Δx) = x₁ - x₀ = 200 m - 800 m = -600 m.
• Intervalo de tiempo (Δt) = 10 s.
• Velocidad media (v_m) = Δx / Δt = -600 m / 10 s = -60 m/s.
• Conversión a km/h: v_m = -60 m/s * 3.6 (km/h / m/s) = -216 km/h.

La velocidad media es -60 m/s (o -216 km/h). El signo negativo indica que el movimiento es en el sentido negativo del eje de coordenadas.

c) Ecuaciones del movimiento (en unidades SI):

• Ecuación de velocidad: v(t) = -60 m/s (constante).
• Ecuación de posición: x(t) = x₀ + v * t = 800 - 60t.

d) Gráficas:

• Gráfica posición-tiempo (x-t): Sería una línea recta con pendiente negativa (-60) que corta el eje vertical (posición) en x = 800 m.
• Gráfica velocidad-tiempo (v-t): Sería una línea recta horizontal a la altura de v = -60 m/s.

Definiciones Fundamentales de Cinemática

Aceleración

En física, la aceleración es la magnitud vectorial que indica la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Mide cuán rápido cambia la velocidad de un objeto.

Velocidad Instantánea

La velocidad instantánea es la velocidad que tiene un móvil en un instante de tiempo específico o en un punto determinado de su trayectoria. Matemáticamente, es la derivada de la posición respecto al tiempo.

Velocidad Media

La velocidad media se define como el cociente entre el desplazamiento total realizado por el móvil y el intervalo de tiempo empleado en realizar dicho desplazamiento. Es una magnitud vectorial: v_m = Δx / Δt.