Problemas Resueltos de Cálculo Multivariable y Optimización Aplicada

Ejercicios Resueltos de Cálculo Multivariable y Optimización

Ejercicio 1: Conjuntos, Continuidad y Optimización con Teorema de Weierstrass

A) Dibuja el conjunto S = {(x, y) ∈ ℝ² / y ≤ 4 + 2x, y ≥ x² – 4, xy ≥ 0} y determina, justificando las respuestas, si es cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

El conjunto S es cerrado. S está acotado, ya que S ⊂ B((0, 0), 13). S es compacto, ya que es cerrado y acotado. S no es convexo. Efectivamente, sean (–1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S. Probaremos que el segmento L[(–1, 0), (0, 1)] ⊄ S, ya que, por ejemplo, el punto medio del segmento (–1/2, 1/2) ∉ S, pues (–1/2)·(1/2) = –1/4 < 0.

B) Si f(x, y) = x + y, justifica, usando el teorema de Weierstrass, si el problema de maximización de f(x,y) en S tiene solución.

La función f es continua en ℝ², por ser polinómica. Por lo tanto, f es continua en S. Dado que S es compacto, el teorema de Weierstrass garantiza que f alcanza en S un máximo y un mínimo globales. Es decir, el problema de maximización de f(x,y) en S tiene solución.

C) Dibuja las curvas de nivel de f(x, y) = x + y a niveles a = 0 y a = 16 y utilízalas para encontrar (en caso de que la respuesta al apartado b) sea afirmativa) el punto de S en el que f tiene un máximo global estricto.

Las curvas de nivel son:

• C₀ = {(x, y) ∈ ℝ² / f(x, y) = x + y = 0} = {(x, y) ∈ ℝ² / y = –x}
• C₁₆ = {(x, y) ∈ ℝ² / f(x, y) = x + y = 16} = {(x, y) ∈ ℝ² / y = 16 –x}

La función f tiene en el punto (4, 12) ∈ S un máximo global estricto, cuyo valor máximo es 16.

Ejercicio 2: Optimización de Beneficios en Producción

Una empresa dedicada a la producción de sillas tiene por función de producción Q(K, L) = L + 4K, donde K y L son las cantidades utilizadas de capital y trabajo, respectivamente, que tienen que ser estrictamente positivas. Si el precio de venta de cada silla es p = 4 y los costes de los inputs K y L son, respectivamente, r = 1 y w = 2.

A) Determina las cantidades utilizadas de los inputs que maximizan el beneficio de la empresa.

B) Calcula el beneficio máximo.

El beneficio máximo es B(4, 16) = 8 + 64 – 4 – 32 = 36 u.m.

C) Utilizando el teorema de la envolvente, determina el efecto sobre el beneficio de un aumento unitario del precio de venta.

Ejercicio 3: Minimización de Costes en Fabricación de Joyas

Una fábrica de joyas produce collares, pulseras y anillos. La función de costes de producción viene determinada por C(x, y, z) = x² + 3y² + 12z – 9, donde x, y, z son, respectivamente, el número de collares, pulseras y anillos producidos.

A) Halla el número de collares, pulseras y anillos que ha de fabricar para minimizar su coste de producción, de tal forma que el número total de joyas producidas sea 18.

B) Calcula el coste mínimo.

El coste mínimo es C(6, 2, 10) = 36 + 12 + 120 – 9 = 159 u.m.

C) Si se fabricase una joya más, el coste de producción mínimo ¿aumentaría o disminuiría? ¿en qué cuantía aproximada? Responde sin hacer nuevos cálculos.

Ejercicio 5: Teorema de las Funciones Implícitas y Polinomio de Taylor

A) Demuestra que se cumplen las hipótesis del teorema de las funciones implícitas para que la ecuación funcional F(x, y, z) = xz² + e⁻ˣᶻ + yx = 0 permita expresar a la variable x como función de y, z (x = f(y, z)) en un entorno del punto (x₀, y₀, z₀) = (1, –1, 0).

El dominio de F es ℝ³, un conjunto abierto, y (1, –1, 0) ∈ ℝ³.

Las hipótesis son:

1. F es de clase C¹ en ℝ³, ya que:
2. F(1, –1, 0) = 0
3. c)

Por lo tanto, el teorema de las funciones implícitas garantiza que se puede expresar la variable x como función de y, z (x = f(y, z)) en un entorno del punto (x₀, y₀, z₀) = (1, –1, 0).

B) Halla el polinomio de Taylor de grado uno de x = f(y, z) en el punto (–1, 0) y da una aproximación de f(–0’9, 0’2).

Ejercicio 6: Elasticidad de la Demanda

La demanda d de protectores solares viene dada por , donde p es el precio, Y es la renta disponible y T es la temperatura. Sean p = 2, Y = 100, T = 25. Halla la elasticidad de la demanda con respecto al precio en ese punto e interprétala.