Problemas de progresiones, probabilidades y funciones: ejercicios y planteamientos matemáticos

Progresiones

Progresiones:

I. En el mes de marzo de 1986 se detectaron 50 casos de una enfermedad extraña en la ciudad de San Francisco. El informe de un equipo médico afirmaba que los nuevos casos mensuales aumentarían a razón de un 20% con respecto al mes anterior. De acuerdo con esta información,

1. ¿Cuántos casos de esta nueva enfermedad se habrán acumulado aproximadamente hasta abril de 1987?
2. ¿Cuántos casos se descubrieron en el mes de octubre de 1986?

Probabilidades

Probabilidades:

I. Un grupo de estudiantes de Sociología está haciendo un estudio sobre las redes sociales más utilizadas. Se les preguntó a 150 personas y se obtuvieron los siguientes resultados:

• 80 personas utilizan Facebook.
• 90 personas utilizan Instagram.
• 100 personas utilizan TikTok.
• 30 personas utilizan tanto Facebook como Instagram.
• 25 personas utilizan tanto Facebook como TikTok.
• 35 personas utilizan tanto Instagram como TikTok.
• 10 personas utilizan las tres redes sociales (Facebook, Instagram y TikTok).
• Existen personas que no utilizan ninguna de las tres redes sociales.

A partir de la información anterior:

1. Realice un diagrama de Venn que represente la situación problemática.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar utilice Facebook, pero no Instagram ni TikTok?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar utilice al menos una red social?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar utilice tanto Facebook como Instagram, pero no TikTok?

Funciones: definiciones y ejercicios

I. Considere la función f(x) = −3x + 8. Determine:

II. Resuelva la siguiente composición de funciones.

Funciones a trozos

III. Sea la función definida por partes:

f(x) = {
  2x − 1   si x ≥ 0
  1 − 2x   si x < 0
}

Determine: (indicar las preguntas o cálculos solicitados referentes a esta función)

Otras funciones

IV. Considere las funciones f(x) = x² + 11, g(x) = 2x y h(x) = 3 − 2x. Calcule (indique qué composiciones, valores o propiedades se deben calcular).

IV (continuación). Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de alta al final de t días de hospitalización está dada por f(t), donde (describir la función f(t) según el enunciado completo).

Función lineal

Función lineal:

1. Determine la función lineal según los datos entregados.

1. 1. Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).
   2. Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

Problema de delivery

Vega Virtual ofrece un servicio delivery de sus productos, el cual tiene un costo adicional de $3.000 por envío y un kg de papas cuesta $700. Representar la función que define el coste de las papas (y) en función de los kg comprados (x), contemplando el envío.

1. ¿Cuánto costarán 3,5 kg?
2. ¿Qué cantidad podremos comprar si sólo disponemos de un billete de $10.000?
3. Graficar la función.

Problema de la artesana

1. Se estima que una artesana puede fabricar 50 piezas de cerámica con un costo de $186.200. Además se sabe que si la artesana pudiese fabricar 75 piezas, el costo sería de $273.700. Suponiendo que el gasto sigue un modelo lineal:

1. Represente mediante una función el costo de producción de la artesana para fabricar sus artesanías.
2. Si la artesana dispusiera de $322.700, ¿cuántas piezas de cerámica podría fabricar?
3. Represente la situación en un gráfico.

Función cuadrática

Función cuadrática:

1. Bajo ciertas condiciones, una compañía encuentra que la utilidad diaria en miles de pesos al producir x artículos de cierto tipo está dada por: U(x) = −x² + 1000x.

1. ¿Cuál es la máxima utilidad?
2. ¿Cuántos artículos deben fabricar en la compañía para que la utilidad sea igual a cero?

Ingreso mensual

Un contador determina que el ingreso mensual I, en pesos chilenos, que obtiene un relojero con experiencia por la reparación de un número x de relojes está dado por la función ingreso:

I(x) = 20.000x − 50x²

1. Determine cuántos relojes se deben reparar para obtener el ingreso máximo.
2. ¿Cuál será el ingreso máximo?

Observaciones finales

• Se han corregido errores ortográficos, de puntuación y de mayúsculas/minúsculas, manteniendo la totalidad del contenido original y su secuencia.
• Donde el enunciado original estaba incompleto o mal formateado, se ha reescrito conservando la intención (por ejemplo, funciones definidas por partes y expresiones de funciones) para facilitar la lectura y la resolución.