Problemas de Ecuaciones Lineales Resueltos: Ejercicios Prácticos de Matemáticas

Problema 1: Venta de Libros (Novelas y Cuentos)

Enunciado: Un librero vende un lote de 83 libros, con novelas a 5 € y cuentos a 4 €, sumando un total de 346 €.

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de novelas
• y: número de cuentos

El sistema de ecuaciones que representa la situación es:

x + y = 83   (Total de libros)
5x + 4y = 346  (Costo total)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos x:

x = 83 - y

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación:

5(83 - y) + 4y = 346
415 - 5y + 4y = 346
415 - y = 346
-y = 346 - 415
-y = -69
y = 69

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación despejada de x:

x = 83 - 69
x = 14

Solución

Respuesta: El lote contiene 14 novelas y 69 cuentos.

Problema 2: Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales

Enunciado: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Planteamiento del Sistema

x + 2y = 8   (Ecuación 1)
3x - y = 3   (Ecuación 2)

Resolución del Sistema (Método de Reducción)

Para eliminar la variable y, multiplicamos la Ecuación 2 por 2:

2 * (3x - y) = 2 * 3
6x - 2y = 6   (Ecuación 3)

Ahora, sumamos la Ecuación 1 y la Ecuación 3:

  x + 2y = 8
+ 6x - 2y = 6
-----------
  7x      = 14

Despejamos x:

x = 14 / 7
x = 2

Sustituimos el valor de x en la Ecuación 1 para encontrar y:

2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 6 / 2
y = 3

Solución

Respuesta: La solución del sistema es x = 2 e y = 3.

Problema 3: Representación Gráfica y Resolución de Sistema

Enunciado: Representa gráficamente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Planteamiento del Sistema

x + y = 6   (Ecuación A)
x - y = 2   (Ecuación B)

Representación Gráfica

Para graficar cada ecuación, encontramos algunos puntos:

Ecuación A: x + y = 6

• Si x = 0, entonces y = 6. Punto: (0, 6)
• Si y = 0, entonces x = 6. Punto: (6, 0)
• Si x = 3, entonces y = 3. Punto: (3, 3)
• Si x = 4, entonces y = 2. Punto: (4, 2)

Ecuación B: x - y = 2

• Si x = 2, entonces y = 0. Punto: (2, 0)
• Si y = 0, entonces x = 2. Punto: (2, 0)
• Si x = 6, entonces y = 4. Punto: (6, 4)
• Si x = 5, entonces y = 3. Punto: (5, 3)
• Si x = 4, entonces y = 2. Punto: (4, 2)

Al representar estas líneas en un plano cartesiano, se observa que se intersecan en el punto (4, 2).

Resolución del Sistema (Método de Reducción)

Sumamos la Ecuación A y la Ecuación B:

  x + y = 6
+ x - y = 2
-----------
  2x      = 8

Despejamos x:

x = 8 / 2
x = 4

Sustituimos el valor de x en la Ecuación A:

4 + y = 6
y = 6 - 4
y = 2

Solución

Respuesta: La solución del sistema es x = 4 e y = 2, lo cual coincide con el punto de intersección gráfico.

Problema 4: Edades de María y Julia

Enunciado: La edad de María es el doble que la edad de Julia. Hace diez años, la suma de sus edades era igual a la edad actual de María. ¿Cuáles son sus edades actuales?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: edad actual de María
• y: edad actual de Julia

Hace 10 años:

• Edad de María: x - 10
• Edad de Julia: y - 10

El sistema de ecuaciones es:

x = 2y             (La edad de María es el doble que la de Julia)
(x - 10) + (y - 10) = x  (Suma de edades hace 10 años es igual a la edad actual de María)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

Sustituimos la primera ecuación (x = 2y) en la segunda ecuación:

(2y - 10) + (y - 10) = 2y
2y + y - 10 - 10 = 2y
3y - 20 = 2y

Agrupamos términos con y en un lado y constantes en el otro:

3y - 2y = 20
y = 20

Ahora, sustituimos el valor de y en la primera ecuación para encontrar x:

x = 2 * 20
x = 40

Solución

Respuesta: La edad actual de María es 40 años y la edad actual de Julia es 20 años.

Problema 5: Animales en un Corral (Conejos y Gallinas)

Enunciado: En un corral hay conejos y gallinas. En total, se cuentan 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de conejos (cada conejo tiene 1 cabeza y 4 patas)
• y: número de gallinas (cada gallina tiene 1 cabeza y 2 patas)

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 58    (Total de cabezas)
4x + 2y = 168   (Total de patas)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos y:

y = 58 - x

Sustituimos esta expresión de y en la segunda ecuación:

4x + 2(58 - x) = 168
4x + 116 - 2x = 168
2x + 116 = 168

Despejamos x:

2x = 168 - 116
2x = 52
x = 52 / 2
x = 26

Ahora, sustituimos el valor de x en la ecuación despejada de y:

y = 58 - 26
y = 32

Solución

Respuesta: Hay 26 conejos y 32 gallinas en el corral.

Problema 6: Edades de Padre e Hijo

Enunciado: La edad de un padre es el doble que la de su hijo. Hace diez años, la edad del padre era el triple que la del hijo. ¿Cuáles son sus edades actuales?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: edad actual del padre
• y: edad actual del hijo

Hace 10 años:

• Edad del padre: x - 10
• Edad del hijo: y - 10

El sistema de ecuaciones es:

x = 2y           (La edad del padre es el doble que la del hijo)
x - 10 = 3(y - 10) (Hace 10 años, la edad del padre era el triple que la del hijo)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

Sustituimos la primera ecuación (x = 2y) en la segunda ecuación:

2y - 10 = 3(y - 10)
2y - 10 = 3y - 30

Agrupamos términos con y en un lado y constantes en el otro:

-10 + 30 = 3y - 2y
20 = y
y = 20

Ahora, sustituimos el valor de y en la primera ecuación para encontrar x:

x = 2 * 20
x = 40

Solución

Respuesta: La edad actual del padre es 40 años y la edad actual del hijo es 20 años.

Problema 7: Reparto de Dinero entre Hijos

Enunciado: Un padre desea repartir 10.000 € entre sus dos hijos. Al hijo mayor quiere darle 2.000 € más que al pequeño. ¿Cuánto corresponderá a cada hijo?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: cantidad de dinero para el hijo mayor
• y: cantidad de dinero para el hijo menor

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 10000  (Cantidad total a repartir)
x = y + 2000   (El mayor recibe 2000 € más que el pequeño)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

Sustituimos la segunda ecuación (x = y + 2000) en la primera ecuación:

(y + 2000) + y = 10000
2y + 2000 = 10000

Despejamos y:

2y = 10000 - 2000
2y = 8000
y = 8000 / 2
y = 4000

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación de x:

x = 4000 + 2000
x = 6000

Solución

Respuesta: Al hijo mayor le corresponderán 6.000 € y al hijo menor le corresponderán 4.000 €.

Problema 8: Precios de Bolígrafos y Libretas

Enunciado: Compramos 3 bolígrafos iguales y 5 libretas, pagando un total de 41 euros. Si hubiéramos comprado 2 bolígrafos y 3 libretas, habríamos pagado 25,50 euros. Halla el precio de venta de un bolígrafo y de una libreta.

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: precio de un bolígrafo
• y: precio de una libreta

El sistema de ecuaciones es:

3x + 5y = 41.00  (Compra 1)
2x + 3y = 25.50  (Compra 2)

Resolución del Sistema (Método de Igualación)

Despejamos x de ambas ecuaciones:

De la primera ecuación:

3x = 41 - 5y
x = (41 - 5y) / 3

De la segunda ecuación:

2x = 25.50 - 3y
x = (25.50 - 3y) / 2

Igualamos las expresiones para x:

(41 - 5y) / 3 = (25.50 - 3y) / 2

Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores:

2 * (41 - 5y) = 3 * (25.50 - 3y)
82 - 10y = 76.50 - 9y

Agrupamos términos con y en un lado y constantes en el otro:

82 - 76.50 = -9y + 10y
5.50 = y
y = 5.50

Ahora, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones despejadas para x (usaremos la primera):

x = (41 - 5 * 5.50) / 3
x = (41 - 27.50) / 3
x = 13.50 / 3
x = 4.50

Solución

Respuesta: El precio de un bolígrafo es de 4.50 € y el precio de una libreta es de 5.50 €.

Problema 9: Billetes de Jordi

Enunciado: Jordi tiene billetes de 5 € y de 10 €. Si en total tiene 13 billetes y 95 €, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de billetes de 5 €
• y: número de billetes de 10 €

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 13    (Total de billetes)
5x + 10y = 95   (Valor total del dinero)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos x:

x = 13 - y

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación:

5(13 - y) + 10y = 95
65 - 5y + 10y = 95
65 + 5y = 95

Despejamos y:

5y = 95 - 65
5y = 30
y = 30 / 5
y = 6

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación despejada de x:

x = 13 - 6
x = 7

Solución

Respuesta: Jordi tiene 7 billetes de 5 € y 6 billetes de 10 €.

Problema 10: Edades del Abuelo y el Hermano

Enunciado: Entre mi abuelo y mi hermano suman 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tiene cada uno?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: edad del abuelo
• y: edad del hermano

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 56   (Suma de las edades)
x = y + 50   (El abuelo tiene 50 años más que el hermano)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

Sustituimos la segunda ecuación (x = y + 50) en la primera ecuación:

(y + 50) + y = 56
2y + 50 = 56

Despejamos y:

2y = 56 - 50
2y = 6
y = 6 / 2
y = 3

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación de x:

x = 3 + 50
x = 53

Solución

Respuesta: La edad del abuelo es 53 años y la edad del hermano es de 3 años.

Problema 11: Habitaciones de un Crucero

Enunciado: Un crucero tiene habitaciones dobles (de 2 camas) y sencillas (de 1 cama). En total, hay 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de habitaciones dobles
• y: número de habitaciones sencillas

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 47   (Total de habitaciones)
2x + y = 79   (Total de camas)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos x:

x = 47 - y

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación:

2(47 - y) + y = 79
94 - 2y + y = 79
94 - y = 79

Despejamos y:

-y = 79 - 94
-y = -15
y = 15

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación despejada de x:

x = 47 - 15
x = 32

Solución

Respuesta: El crucero tiene 32 habitaciones dobles y 15 habitaciones sencillas.