Probabilidades y Teoremas Fundamentales: Sucesos, Árboles y Bayes

Sucesos Independientes y Dependientes

Sucesos Independientes

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. Matemáticamente, se define como:

p(A/B) = p(A)

Sucesos Dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Se define como:

p(A/B) ≠ p(A)

Ejemplo de Extracción de Cartas

De una baraja de 48 cartas se extraen simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1. Las dos sean copas.
2. Al menos una sea copas.
3. Una sea copa y la otra espada.

Ejemplo de Gestión de Taller

Un taller sabe que, por término medio, acuden los siguientes vehículos:

• Por la mañana: tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa.
• Por la tarde: dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

Tareas a realizar:

1. Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

El Diagrama de Árbol en Probabilidad

Para la construcción de un diagrama en árbol, se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su respectiva probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye, a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar siempre 1.

Ejemplos de Aplicación

Una clase consta de seis niñas y diez niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1. Seleccionar tres niños.
2. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4. Seleccionar tres niñas.

Cálculo con Monedas

Calcular la probabilidad de que, al arrojar al aire tres monedas, salgan tres caras utilizando un Diagrama de Árbol.

Experimentos Compuestos

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado o una moneda, estamos ante experimentos aleatorios simples; pero si realizamos el experimento de tirar un dado y, posteriormente, una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

Para los experimentos compuestos, es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos los resultados posibles.

Teorema de Probabilidad Total

Si A₁, A₂, ..., A_n son:

• Sucesos incompatibles 2 a 2.
• Y cuya unión es el espacio muestral (A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n = E).
• Y B es otro suceso cualquiera.

Resulta que la probabilidad de B es:

p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂) + ... + p(A_n) · p(B/A_n)

Ejemplo de las Cajas de Bombillas

Se dispone de tres cajas con bombillas:

• La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas.
• En la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida.
• En la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.

¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Teorema de Bayes

Si A₁, A₂, ..., A_n son:

• Sucesos incompatibles 2 a 2.
• Y cuya unión es el espacio muestral (A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n = E).
• Y B es otro suceso.

En este contexto, se definen los siguientes conceptos:

• Las probabilidades p(A_i) se denominan probabilidades a priori.
• Las probabilidades p(A_i/B) se denominan probabilidades a posteriori.
• Las probabilidades p(B/A_i) se denominan verosimilitudes.

Ejemplos Prácticos del Teorema de Bayes

Caso 1: Empleados en una Empresa

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y los no economistas, solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Caso 2: Sistema de Alarma en Fábrica

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene la alarma si se ha producido algún incidente es de 0.97, y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

• I = Producirse incidente.
• A = Sonar la alarma.