Probabilidad y Distribuciones Clave: Normal y Binomial con Ejemplos Prácticos

Estudio de Caso: Detección de Enfermedad Renal en Pacientes Hipertensos

Se ha realizado un estudio para poner a prueba un procedimiento de detección de enfermedades renales en pacientes hipertensos. Los experimentadores evalúan a 137 pacientes hipertensos, a quienes se les aplica dicho procedimiento. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Análisis de Errores en la Detección

En este tipo de pruebas, existen dos tipos principales de errores:

1. Falso Positivo: Decirle a una persona sana que está enferma.
2. Falso Negativo: Decirle a una persona enferma que está sana.

Cálculo de Probabilidades de Error

• Probabilidad de Falso Negativo: P(decir "sano" | estando enfermo) = 10/54 ≈ 0,19
• Probabilidad de Falso Positivo: P(decir "enfermo" | estando sano) = 23/83 ≈ 0,28

∴ Conclusión: Según los datos, al 19% de los pacientes enfermos se les dijo incorrectamente que estaban sanos (falso negativo), y al 28% de los pacientes sanos se les dijo incorrectamente que estaban enfermos (falso positivo).

Modelos de Distribución de Probabilidades

1. El Modelo Básico

Un modelo simple con dos resultados equiprobables (cara o sello).

• Casos: Cara, Sello
• Probabilidad: 1/2, 1/2

2. Modelo de Número de Hijos Varones en Familias con 2 Hijos

Basado en una muestra de 100 familias: 25 no tienen hijos varones, 49 tienen uno y 26 tienen dos.

• x (nº de varones): 0, 1, 2
• Probabilidad teórica: 1/4, 1/2, 1/4

3. Modelo de Número de Varones en Grupos de 3 Alumnos

Se analiza la distribución teórica de probabilidad.

• Valor (x): 0, 1, 2, 3
• Probabilidad teórica: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8

Nota: El texto original menciona unos cálculos (P(0)=6/8; P(2)= 0/8; P(3)=0/8) que indican que este modelo teórico no se ajusta a un caso empírico particular.

La Distribución Normal

Si graficamos un histograma de una variable continua con suficientes datos, a menudo se aproxima a una curva conocida como la distribución normal o campana de Gauss. Sin embargo, no todos los conjuntos de datos se ajustan a este modelo.

Características Principales

• Tiene forma de campana y es simétrica respecto a su centro. En una distribución normal perfecta, promedio = mediana = moda.
• Se caracteriza por dos parámetros: su media (μ) y su desviación estándar (σ).
• Es asintótica respecto al eje X, lo que significa que la curva se acerca al eje pero nunca lo toca.
• La función de densidad de probabilidad que la define es:
  f(x) = [1 / (σ√(2π))] · e^{-(x-μ)² / (2σ²)}

Ejemplo de Aplicación

El nivel de colesterol de un adulto mayor sigue un modelo de distribución normal con una media de 100 mg y una desviación estándar de 8 mg.

La Distribución Binomial (Variables Discretas)

Este modelo se utiliza para calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en una serie de ensayos.

Requisitos para su Aplicación

1. El experimento se realiza un número finito y fijo de veces (n).
2. Cada ensayo o réplica solo puede tener dos resultados posibles (dicotómicos), comúnmente denominados "éxito" o "fracaso".
3. Las réplicas deben ser independientes entre sí; el resultado de una no afecta al de las otras (por ejemplo, el matrimonio o las enfermedades hereditarias no siempre cumplen este requisito).
4. La probabilidad de "éxito" (p) es constante en cada réplica.

Si se cumplen estas condiciones, la variable X (número de éxitos) sigue una ley binomial. La fórmula para calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es:

P(X=k) = (ⁿ_k) p^k (1-p)^n-k

Ejercicio Práctico

Un distribuidor de huevos vende sus productos en cajas de 6 unidades. Si el 5% de los huevos está roto, ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga exactamente 1 huevo roto?

Verificación de Condiciones

• 1) Número fijo de ensayos: Sí, n=6 (cada huevo es un ensayo).
• 2) Resultados dicotómicos: Sí, para cada huevo la respuesta es "¿está roto?" (sí/no).
• 3) Independencia: Se asume que el estado de un huevo no afecta a los demás en la caja.
• 4) Probabilidad constante: Sí, P(éxito) = P(huevo roto) = 0.05.

Cálculo

Se pide calcular P(X=1):

P(X=1) = (⁶₁) · (0.05)¹ · (0.95)⁵