Probabilidad y distribuciones binomiales

PROBABILIDAD

CONCEPTOS:

• Fenomeno aleatorio (s): es aquel que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados finales. Ejem; lanzar un dado
• Fenomeno determinista: es aquel que en las mismas condiciones provocan los mismos efectos. Ejem; lanzar un dado trucado
• Prueba: una prueba del experimento aleatorio (s) es una observacion particular del experimento. Ejem; cada una de las veces que tiramos un dado es una prueba.
• Espacio muestral (E): es un experimento aleatorio que contiene todos los posibles resultados del experimento Ejem; en el lanzamiento de un dado sería [1,2,3,4,5,6]
• Tipos de sucesos:
  • Suceso elemental: es el formado por un solo elemento. Ejem; en una moneda [cara] [cruz]
  • Suceso compuesto: es el formado por dos o mas elementos. Ejem; en un dado los pares.
  • Suceso seguro: es aquel que se verifica siempre. Ejem; en una moneda seria [cara,cruz]
  • Suceso imposible: aquel que no se verifica nunca. Ejem; en una moneda un 7
  • Suceso contrario o complementario: dado un suceso “A”, se denomina suceso complementario a “Ā”. El suceso que se verifica cuando no lo hace A, está formado por los elementos del espacio muestral que no están en A
• Operaciones con sucesos: consideramos un suceso aleatorio cuyo espacio muestral es E y el conjunto es la otra parte de E. Se definen las operaciones:
  • Unión (U): AUB → Está en A o B
  • Intersección ( ∩) (A B) → Está en A y B
  • Complementario:
• Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles cuando no se pueden verificar simultaneamente, es decir, A ∩ B = Ø En caso contrario se dice que son compatibles. Son incompatibles A y A ; B y B.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el caso de nº favorables al suceso y el nº de casos posibles. La probabilidad del suceso A se escribe y es:

CONSECUENCIAS DE LA PROBABILIDAD

1. La probabilidad de un suceso cualquiera toma valores entre 0 y 1.
2. La probabilidad del suceso seguro/cierto es la unidad
3. si dos sucesos son incompatibles la probabilidad de su unión es:
4. La probabilidad de la unión de dos sucesos cualquiera es:
5. la probabilidad del suceso contrario al suceso A es:
6. La probabilidad del suceso imposible es 0.

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Una experiencia compuesta es aquella que está formada por 2 o más experiencias simples.

En las experiencias compuestas pueden darse dos tipos:

1. Extraciones con reemplazamiento: son aquellas en las que, después de cada extracción, el elemento extraído, se repone. De este modo cada extracción se realiza en las mismas condiciones que la anterior.
2. Extraciones sin reemplazamiento: en ellas las sucesivas extracciones se realizan sin devolver el elemento anteriormente extraído.

EXPERIENCIAS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Una experiencia es independiente cuando el resultado de cada una de ellas no depende de las demás. Las extracciones con reemplazamiento son independientes. También son independientes el lanzamientos de dados, de una moneda…

Una experiencia es dependiente cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes. Este tipo de probabilidad se llama probabilidad condicionada.

La probabilidad de un suceso A, puede verse modificada si ha ocurrido previamente otro suceso B. para recoger esta influencia entre los sucesos, se define la probabilidad condicionada: P (A/B)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones de frecuencias relativas. Las primeras son teóricas y las segundas son empíricas. Ambas distribuciones se representan mediante diagramas de barras.

NÚMEROS COMBINATORIOS

TRIÁNGULO DE TARTAGLIA TRIÁNGULO DE PASCAL

CARACTERÍSTICAS

LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Por lo tanto una distribución binomial tiene solo 2 opciones. Todo suceso tiene un complementario (par,impar). Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos complementarios (hombre,mujer).

En general a estos dos sucesos contrarios los calificamos como éxito y fracaso. La distribución de probabilidad dicreta, que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial. Esta distribución queda caracterizada por: El resultado de una prueba del experimento aleatorio dolo tiene dos únicas opciones , que llamaremos éxito y fracaso Si éxito es A el fracaso será A Se realizan n ensayos del experimento, independientes uno de otro. n=7 lanzamos 7 veces. La probabilidad del éxito es constante a lo largo de n pruebas y se denota “p”, por lo tanto la probabilidad del fracaso es constante y se denota “q” P(A) = p P(A) = q = 1 – p La variable aleatoria “x” cuenta el nº de éxitos “K” en las “n” pruebas X:0,1,2,3…n K:0,1,2,3…n Todo experimento que tenga estas características, diremos que sigue el modelo de la distribución binomial. A la variable x, que expresa el nº de éxitos obtenidos en cada prueba del experiemento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial queda caracterizada por los parametros n (número de pruebas) y p (probabilidad del éxito) y se escribe B(n,p)

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

PARÁMETROS

MEDIA:

D.TÍPICA:

AJUSTE DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Las muestras que se obtienen de una población para incenstigar un fenómeno determinado pueden servir de guía para buscar un modelo que nos explique y sobre todo, nos permita preever futuras evoluciones del mismo. Así cuando se tenga cierta seguridad de que un experimento se rige por características binomiales, puede modelizarse ajustando a una distribución binomial, cuya probabilidad de éxito se calcula igualando su media con la media muestral, es decir;