La probabilidad: conceptos, interpretaciones y problemas

Objetiva: La probabilidad está determinada por ciertas propiedades (físicas) del sistema.

Frecuentismo: la probabilidad de un evento A en una clase de referencia B es su frecuencia relativa de ocurrencias de A en B (el límite de la frecuencia cuando la clase de referencia tiende a infinito).

Problemas

Los eventos singulares no parecen tener probabilidad asignada. Las clases de referencia no siempre están bien delimitadas.

Propensidades: Las probabilidades son propiedades objetivas de eventos singulares (dependen de la situación empírica).

Problemas: Oscuridad metafísica. Probabilidades inversas: un paciente tiene la disposición x de tener cierta enfermedad y, como consecuencia, cierta probabilidad de que el test sea positivo. ¿Cierto test positivo tiene la disposición de haber venido de un paciente enfermo?

Subjetiva: La probabilidad de un evento A es interpretada como el grado de creencia que un sujeto racional ideal asigna al evento A.

¿Qué es un sujeto racional? Idealmente, uno cuyas creencias son consistentes: esto además de la consistencia lógica puede incluir algún principio que no le permita actuar en contra de sus propios intereses. Se pretende demostrar que ha de asignar grados de creencia que se ajustan a los axiomas de la probabilidad. El grado de creencia p en E es el precio que estarías dispuesto a pagar (o recibir) para ganar una unidad de utilidad si E se da à P(E) = p. Una apuesta X:Y, significaría que el sujeto está dispuesto a arriesgar X euros para ganar Y à Grado de creencia: X/(X + Y).

Dutch book argument: Un Dutch book (contra un agente) es una serie de apuestas que el agente acepta y aseguran su pérdida (salga lo que salga).

Se puede probar un teorema matemático que garantiza que un agente que asigna grados de creencia que violan los axiomas de la probabilidad puede recibir un Dutch book y viceversa (un agente que respeta los axiomas es inmune al Dutch book). Esto restringe qué es racional: los grados de creencia de un sujeto racional deben satisfacer los axiomas de la probabilidad.

Problemas: más adelante.

Q(E) < 0 El grado de creencia que asigna el agente a que se dé E es Q(E) < 0. El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da E por Q(E). Luego, pierde |Q(E)| + (1 si E se da o 0 si E no se da).

Q(T) < 1 El grado de creencia que asigna el agente a que se dé T (tautología) es Q(T) < 1. El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da T por Q(T). Tiene que pagar 1 unidad en cualquier caso à Balance: Q(T) - 1 < 0.

Q(A V B) < Q(A) + Q(B) (A y B mutuamente inconsistentes) El grado de creencia que asigna el agente a que se dé A V B es Q(A V B) … El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da A V B por Q(A V B) y comprar apuestas a favor de A y B por Q(A) y Q(B).

Balance: Q(A V B) - (Q(A) + Q(B)) < 0.

Probabilidad como medida de la justificación: a cada argumento probable se le puede asociar una probabilidad condicionada: P(H|E).

Intuitivamente, la evidencia confiere cierta probabilidad a la hipótesis; si no hay certeza, la justificación de la hipótesis depende de la evidencia. Principio de condicionalización: si S sabe que se da E, debe ajustar su grado de creencia en H al valor dado por P(H|E). Hay que condicionar sobre el enunciado más fuerte lógicamente que uno sepa. Esto presupone el Dutch book argument… los grados de creencia son probabilidades. ¿Es suficiente la medida probabilista para justificar las inferencias inductivas? Depende de las propiedades de P(H|E).

Evaluación de P(H|E)

Teorema de Bayes: P(H|E) = P(E|H)P(H) / P(E). Si H es una hipótesis predictiva que implica E (bajo ciertas hipótesis auxiliares), entonces P(E|H) = 1 ) P(H|E) = P(H) = P(E). Pero no sabemos cómo asignar probabilidades primitivas.

Argumento bayesiano

Si 0 < P(E); P(H) < 1 y H implica E, entonces P(H|E) > P(H). Si uno ajusta sus grados de creencias en la hipótesis siguiendo el principio de condicionalización: Parece que hemos demostrado que la evidencia incrementa la justificación de la creencia en la verdad de H. Además P(H|E) = P(H) = [P(H) + P(-H)P(E| - H)].

Luego la evidencia confirma tanto más la hipótesis cuanto más improbable es la evidencia si H es falsa.

El criterio bayesiano no permite distinguir entre dos hipótesis. Supongamos que tenemos cierta evidencia E y dos hipótesis H y H’ que predicen esos datos. P(H|E) = P(H)/P(E) y P(H’|E) = P(H’)/P(E). Este resultado no nos dice cuál de las dos hipótesis queda mejor confirmada a menos que sepamos cuáles son las probabilidades iniciales. En cualquier caso, se preserva el orden inicial: P(H|E) ≥ P(H’|E) syss (P(H) ≥ P(H’). Pero esto es una hipótesis inductiva.

Subjetividad de las probabilidades anteriores

Distintos sujetos pueden asignar distintas probabilidades iniciales. Respuesta bayesiana à Teoremas de Convergencia: si asignamos diferentes probabilidades anteriores a una hipótesis, pero las mismas probabilidades condicionadas a cualquier evidencia (E1, E2,. . . .), entonces si seguimos la actualización de grados de creencia bayesiana, después de tener en cuenta cierta evidencia las probabilidades serán tan cercanas como queramos. Luego, aunque inicialmente las probabilidades anteriores puedan ser muy distintas, éstas convergen a la larga.

Problema 1: dada cualquier evidencia dada y cierto grado de convergencia α aceptable, siempre es posible elegir las probabilidades anteriores de manera que la divergencia de las posteriores sea mayor que α.

Problema 2: ¿Qué nos autoriza a suponer que dos sujetos que asignen distintas probabilidades anteriores coincidirán en las P(E|H) asignadas para cualquier evidencia?