Probabilidad: Conceptos Esenciales y Aplicaciones Prácticas

¿Qué es la Probabilidad?

La probabilidad es una rama de las matemáticas que cuantifica la posibilidad de que ocurra un evento en circunstancias de azar. Se expresa como un valor numérico entre 0 y 1. Un valor cercano a 1 indica una alta certidumbre de que el evento ocurrirá, mientras que un valor cercano a 0 sugiere una baja probabilidad.

Fórmula de Probabilidad Clásica

La fórmula básica para calcular la probabilidad de un evento es:

P(Evento) = Casos Favorables / Casos Posibles

Ejemplos de Probabilidad

Ejemplo 1: Lanzamiento de Moneda

Si se lanza una moneda al aire dos veces, los posibles resultados (el espacio muestral) son: "cara-cara", "cara-cruz", "cruz-cara" y "cruz-cruz". En total, hay 4 resultados posibles.

La probabilidad de obtener un resultado de "cara-cara" es 1 de cada 4 resultados, es decir, 1/4, 0.25 o 25%.

Ejemplo 2: Extracción de Bolas Numeradas

En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 11 al 20, algunas rojas y otras verdes.

Sacamos sin mirar una bola, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número primo?

Para resolverlo, calculamos el número de casos favorables y el número de casos posibles.

• Número de casos favorables: Los números primos entre 11 y 20 son 11, 13, 17 y 19. Por lo tanto, hay 4 casos favorables.
• Número de casos posibles: Todos los números del 11 al 20, que son 10.

La probabilidad de sacar un número primo entre las 10 bolas es de 4/10, que simplificado es 2/5.

Solución: P (número primo) = 2/5

¿Qué es un Experimento Aleatorio?

Un experimento aleatorio es la reproducción controlada de un fenómeno en el que existe incertidumbre sobre el resultado final. Aunque se realice bajo las mismas condiciones iniciales aparentes, puede presentar resultados diferentes, lo que significa que no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular.

Ejemplos comunes incluyen el lanzamiento de un dado, el lanzamiento de una moneda o la extracción de una carta de una baraja.

Ejemplos de Experimentos Aleatorios

• Lanzar una moneda y observar si cae cara o cruz.
• Extraer una carta 'A' de una baraja.
• Lanzar un dado y observar si cae un 6.

Espacio Muestral

El espacio muestral (denotado comúnmente como E, S, Ω o U) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplos de Espacio Muestral

Cuando lanzamos una moneda, los posibles resultados son cara o cruz. En total, son dos posibles resultados, por lo que el espacio muestral tiene 2 elementos:

E = {cara, cruz}

Si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibles resultados que pueden salir. Por lo tanto, el espacio muestral sería de 6 elementos:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cardinalidad de un Conjunto

La cardinalidad de un conjunto es la medida del "número de elementos" que contiene. Por ejemplo, el conjunto A = {2, 4, 6} tiene 3 elementos, por lo que su cardinalidad es 3.

En términos más avanzados, existen aproximaciones que comparan conjuntos directamente mediante biyecciones e inyecciones, o que utilizan números cardinales. La cardinalidad de un conjunto también se conoce como su tamaño, siempre que no haya ambigüedad con otras nociones de tamaño.

Unión de Eventos: P(A o B)

La probabilidad de la unión de dos eventos A y B (que ocurra A o B, o ambos) se denota como P(A ∪ B).

Para eventos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Para eventos no mutuamente excluyentes (pueden ocurrir al mismo tiempo):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Probabilidad Condicional: P(A dado B)

La probabilidad condicional de que ocurra el evento A, dado que el evento B ya ha ocurrido, se denota como P(A|B) y se calcula con la fórmula:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Donde P(B) > 0.

Eventos Independientes

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La probabilidad de que ambos eventos ocurran (A y B) se calcula como:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Eventos Dependientes

Dos eventos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La probabilidad de que ambos eventos ocurran (A y B) se calcula como:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

Donde P(B|A) es la probabilidad de que ocurra B dado que A ya ha ocurrido.