Probabilidad: Conceptos básicos y aplicaciones

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa como E.

Ejemplo: ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde al lanzamiento de un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto de E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número par” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}

Suceso Elemental

Un suceso elemental es aquel formado por cada uno de los elementos que forman el espacio muestral.

Ejemplo: ¿Cuáles son los sucesos elementales que se obtienen al lanzar un dado?

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}

Suceso Seguro

Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. Se representa por E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener un número menor que 7” cuando lanzamos un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso Compuesto

Un suceso compuesto es aquel formado por más de un elemento del espacio muestral.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número impar” cuando lanzamos un dado?

A = {1, 3, 5}

Suceso Imposible

Es el que no ocurre nunca. Se representa por Φ.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número mayor que 6” cuando lanzamos un dado?

Φ

Sucesos Contrarios

Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario A' (o también A^c) es el que ocurre cuando no ocurre A.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman los sucesos “obtener número par” y “obtener número impar” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}, A' = {1, 3, 5}

Unión

A U B es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Intersección

A ∩ B es el suceso formado por todos los elementos que pertenecen, a la vez, a A y a B.

Diferencia

Dados dos sucesos A y B del espacio muestral, llamamos suceso diferencia al suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Se verifica cuando ocurre A, pero no B.

Diagrama de Venn

Los sucesos admiten una representación gráfica que facilita su interpretación. Esta representación se denomina diagrama de Venn, en honor a John Venn (1834-1923). En este diagrama, representamos el conjunto de posibilidades para un experimento mediante un rectángulo. A este conjunto lo llamamos espacio muestral y lo representamos por la letra mayúscula E. Los sucesos se representan mediante “circunferencias”. Con estas circunferencias, se pueden realizar operaciones como la unión, la intersección, etc.

Sucesos Compatibles e Incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Es decir, cuando A ∩ B = Φ. En caso contrario, se dice que A y B son compatibles.

Ejemplo:

A = {1, 2}, B = {3, 4} → A ∩ B = Φ

Frecuencia Absoluta

La frecuencia absoluta de un suceso A, o simplemente frecuencia de A, es el número de veces que ocurre A. Se denota por f(A).

Frecuencia Relativa

La frecuencia relativa de un suceso A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que hemos realizado el experimento. Se denota por h(A) = f(A) / N.

Ley de los Grandes Números

La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a estabilizarse en torno a un valor fijo, al que llamamos probabilidad.

Regla de Laplace

Cuando repetimos un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a aproximarse a un valor fijo. Este valor fijo se define como probabilidad del suceso. Para calcular la probabilidad, utilizamos la llamada Regla de Laplace:

P(A) = casos favorables / casos posibles

Definición Axiomática de Probabilidad

Otra forma de definir la probabilidad está basada en unos principios tan claros y evidentes que son admitidos sin necesidad de demostración, son los axiomas de probabilidad. La probabilidad es una función que asigna a cada suceso del espacio muestral un número real P(A), que cumple los siguientes axiomas:

• Axioma 1: Para cada suceso A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
• Axioma 2: P(E) = 1
• Axioma 3: Si A y B son dos sucesos incompatibles, A ∩ B = Φ, P(A U B) = P(A) + P(B).

Experimento Aleatorio Compuesto

Un experimento aleatorio compuesto es aquel que está formado por varios experimentos simples o que se puede descomponer en varios experimentos más simples.

Ejemplo: El experimento “lanzar tres monedas”, puede considerarse compuesto del experimento simple “lanzar una moneda tres veces”.

A = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

Diagramas de Árbol

Los diagramas de árbol están compuestos por ramas y caminos. Una rama es cada una de las flechas; su probabilidad es la de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que nos lleva del principio hasta el final. El número de caminos coincide con el de posibilidades que se pueden presentar.

Probabilidad Condicionada

La probabilidad del suceso B condicionado por el suceso A es la probabilidad de que se realice B sabiendo que se ha realizado A.

Sucesos Dependientes

Decimos que dos sucesos son dependientes si el resultado de uno influye en el resultado del otro.

Sucesos Independientes

Decimos que dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el resultado del otro.

Teorema de la Probabilidad Total

El teorema de la probabilidad total se utiliza para el estudio de la probabilidad de uno o varios caminos de un árbol, que como ya sabemos calcular, es la suma de las probabilidades de los caminos que lo forman.

Ejemplo: Probamos 3 vacunas A1, A2 y A3 en 100 personas; la vacuna A1, en 30; la A2, en 20, y la A3, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A1, 23 no han contraído la enfermedad; del A2, 17, y del A3, 39. ¿Qué probabilidad tenemos de que, elegida una persona al azar, esté sana? 0.79