Probabilidad Aplicada: Resolución de Ejercicios Fundamentales

Problemas Resueltos de Probabilidad: Ejercicios Prácticos

1. Extracción de Bolas de una Urna

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Definimos los siguientes sucesos:

• R₁: Sacar bola roja en la primera extracción.
• R₂: Sacar bola roja en la segunda extracción.
• V₁: Sacar bola verde en la primera extracción.
• V₂: Sacar bola verde en la segunda extracción.

Las probabilidades dadas son:

• P(R₁) = 5/8
• P(V₁) = 3/8
• P(R₂|R₁) = 6/9
• P(V₂|V₁) = 4/9

A) Probabilidad Total para la Segunda Bola Verde

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total, la probabilidad de que la segunda bola sea verde es:

P(V₂) = P(R₁) · P(V₂|R₁) + P(V₁) · P(V₂|V₁)

Según los cálculos proporcionados:

P(V₂) = (5/8) · (5/9) + (3/8) · (2/9) = 25/72 + 6/72 = 31/72 ≈ 0.43056

Nota: En el cálculo se utilizan los valores P(V₂|R₁) = 5/9 y P(V₂|V₁) = 2/9, aunque P(V₂|V₁) se indicó inicialmente como 4/9. Se mantiene la coherencia con el cálculo presentado en el documento original.

B) Teorema de Bayes para la Primera Bola Roja

Aplicando el Teorema de Bayes, tenemos:

P(R₁|R₂) = P(R₁ ∩ R₂) / P(R₂)

Sabemos que P(R₁ ∩ R₂) = P(R₁) · P(R₂|R₁). Para P(R₂), se utiliza la relación P(R₂) = 1 - P(V₂), asumiendo que R₂ y V₂ son sucesos complementarios en la segunda extracción.

P(R₁|R₂) = (P(R₁) · P(R₂|R₁)) / (1 - P(V₂))

Según los cálculos proporcionados:

P(R₁|R₂) = (5/8) · (4/9) / (1 - 31/72) = (20/72) / (41/72) = 20/41 ≈ 0.4878

Nota: En el cálculo se utiliza el valor P(R₂|R₁) = 4/9, aunque P(R₂|R₁) se indicó inicialmente como 6/9. Se mantiene la coherencia con el cálculo presentado en el documento original.

2. Compras en Panaderías

En un barrio, hay dos panaderías. Definimos los siguientes sucesos:

• A: Compra en la panadería A.
• B: Compra en la panadería B.

Las probabilidades dadas son:

• P(A) = 40% = 0.4
• P(B) = 25% = 0.25
• P(A y B) = P(A ∩ B) = 15% = 0.15

A) Probabilidad de Comprar en A y No en B

Se pide la probabilidad de comprar en la panadería A y no en la panadería B, que se denota como P(A ∩ Bᶜ).

P(A ∩ Bᶜ) = P(A) - P(A ∩ B)

P(A ∩ Bᶜ) = 0.4 - 0.15 = 0.25

B) Probabilidad Condicional de Comprar en B dado A

Se pide la probabilidad de comprar en la panadería B, dado que se ha comprado en la panadería A, que se denota como P(B|A).

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

P(B|A) = 0.15 / 0.4 = 0.375

C) Probabilidad de No Comprar en A y No en B

Se pide la probabilidad de no comprar en la panadería A y no en la panadería B, que se denota como P(Aᶜ ∩ Bᶜ).

Aplicando las Leyes de De Morgan, sabemos que P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = P((A ∪ B)ᶜ) = 1 - P(A ∪ B).

Primero, calculamos P(A ∪ B):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.4 + 0.25 - 0.15 = 0.65 - 0.15 = 0.5

Luego, P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.5 = 0.5

D) Independencia de Sucesos

Sabemos que dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(A) · P(B) = 0.4 · 0.25 = 0.10

Comparamos con la probabilidad de la intersección dada:

P(A ∩ B) = 0.15

Dado que P(A ∩ B) = 0.15 ≠ 0.10 = P(A) · P(B), los sucesos A y B son dependientes.

3. Pruebas de un Estudiante

Un estudiante realiza dos pruebas en un mismo día. Consideremos los siguientes sucesos:

• A: Pasar la primera prueba. P(A) = 0.6
• B: Pasar la segunda prueba. P(B) = 0.8
• A ∩ B: Pasar las dos pruebas. P(A ∩ B) = 0.5

a) Probabilidad de Pasar al Menos una Prueba

Se pide la probabilidad de pasar al menos una de las pruebas, que se denota como P(A ∪ B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.6 + 0.8 - 0.5 = 1.4 - 0.5 = 0.9

b) Probabilidad de No Pasar Ninguna Prueba

Se pide la probabilidad de no pasar ninguna de las pruebas, que se denota como P((A ∪ B)ᶜ).

P((A ∪ B)ᶜ) = 1 - P(A ∪ B)

P((A ∪ B)ᶜ) = 1 - 0.9 = 0.1

Nota: La notación original P(Aᶜ ∪ Bᶜ) se interpreta como P((A ∪ B)ᶜ) para que el cálculo proporcionado sea consistente. Si se interpretara literalmente como P(Aᶜ ∪ Bᶜ), por las Leyes de De Morgan, sería P((A ∩ B)ᶜ) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0.5 = 0.5.

c) Dependencia de los Sucesos

Para determinar si los sucesos A y B son dependientes, comparamos P(A) con P(A|B).

• P(A) = 0.6
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.5 / 0.8 = 5/8 = 0.625

Como P(A) = 0.6 ≠ 0.625 = P(A|B), los sucesos A y B son dependientes.

4. Extracción de Cartas de una Baraja Española

Se dispone de una baraja española de 40 cartas. Recordamos que extraer dos cartas es lo mismo que extraer primero una carta y después la otra.

A) Probabilidad de No Sacar Oros

Definimos los siguientes sucesos:

• O₁: Sacar oros en la primera extracción.
• O₂: Sacar oros en la segunda extracción.
• O₁ᶜ: No sacar oros en la primera extracción.
• O₂ᶜ: No sacar oros en la segunda extracción.

Las probabilidades dadas son:

• P(O₁) = 10/40
• P(O₂|O₁) = 9/39

La probabilidad de que ninguna carta sea de oros se calcula como P(O₁ᶜ ∩ O₂ᶜ):

P(O₁ᶜ ∩ O₂ᶜ) = P(O₁ᶜ) · P(O₂ᶜ|O₁ᶜ)

Sabemos que P(O₁ᶜ) = 1 - P(O₁) = 1 - 10/40 = 30/40 = 3/4.

Si la primera carta no fue de oros, quedan 39 cartas, de las cuales 29 no son de oros (30 - 1). Por lo tanto, P(O₂ᶜ|O₁ᶜ) = 29/39.

P(O₁ᶜ ∩ O₂ᶜ) = (3/4) · (29/39) = 87/156 = 29/52 ≈ 0.5577

B) Probabilidad Condicional de la Primera Carta de Copas

Definimos los siguientes sucesos:

• C₁: Sacar copas en la primera extracción.
• C₂: Sacar copas en la segunda extracción.
• C₁ᶜ: No sacar copas en la primera extracción.
• C₂ᶜ: No sacar copas en la segunda extracción.

Las probabilidades dadas son:

• P(C₁) = 10/40
• P(C₂|C₁) = 9/39

Se pide la probabilidad de que la primera carta sea de copas sabiendo que la segunda carta extraída ha sido de copas, es decir, P(C₁|C₂).

Utilizando la Fórmula de Bayes y el Teorema de la Probabilidad Total para P(C₂):

P(C₁|C₂) = P(C₁ ∩ C₂) / P(C₂)

Donde P(C₁ ∩ C₂) = P(C₁) · P(C₂|C₁)

Y P(C₂) = P(C₁) · P(C₂|C₁) + P(C₁ᶜ) · P(C₂|C₁ᶜ)

Sabemos que P(C₁ᶜ) = 1 - P(C₁) = 1 - 10/40 = 30/40 = 3/4.

Si la primera carta no fue de copas, quedan 39 cartas, de las cuales 10 son de copas. Por lo tanto, P(C₂|C₁ᶜ) = 10/39.

Sustituyendo los valores:

P(C₁|C₂) = ( (1/4) · (9/39) ) / ( (1/4) · (9/39) + (3/4) · (10/39) )

P(C₁|C₂) = (9/156) / (9/156 + 30/156)

P(C₁|C₂) = (9/156) / (39/156)

P(C₁|C₂) = 9/39 = 3/13 ≈ 0.2308