Principios de Seguros: Franquicias, Valor Actual Actuarial y Cálculos de Primas

Conceptos Fundamentales en Seguros: Franquicias y Valor Actual Actuarial

Franquicias Básicas en Seguros

Las franquicias son mecanismos que modifican la distribución del riesgo entre el asegurado y el asegurador, impactando directamente en el coste y la prima del seguro.

1. Franquicia Absoluta

Existe una franquicia absoluta de cuantía A cuando el asegurado soporta, de cualquier siniestro, las A primeras unidades monetarias. En el límite, si A = 0, la franquicia desaparece. Sus efectos principales son la disminución del coste medio y de la varianza del coste, lo que resulta en una prima menor.

• Fórmula para la probabilidad de que el asegurado soporte el siniestro: d = 1 - e-A/c
• Fórmula para la cuantía de la franquicia: A = -c · ln(1-d)
• Varianza del coste soportado por el asegurado: VA(X) = c2[2 · e-A/c - e-2A/c]

2. Franquicia de Garantía Máxima (M)

Se presenta una franquicia de garantía máxima de cuantía M cuando el asegurador solo cubre de cada siniestro un importe máximo de M, de forma que el asegurado soporta el exceso. En el límite, si M → ∞, la franquicia desaparece (conocida como franquicia de primer riesgo).

• Fórmula para la probabilidad de que el asegurador pague el máximo: d = e-M/c
• Fórmula para la cuantía máxima cubierta: M = -c · ln(d)

3. Franquicia de Autoparticipación con Tope Máximo

Existe una franquicia absoluta de grado α, con un tope máximo B (donde α se expresa en tanto por uno y B se mide en unidades monetarias de X), cuando el asegurado soporta un porcentaje α de la cuantía del siniestro, con un máximo de B.

• Por definición, 0 < α ≤ 1.
• Si α = 1, esta franquicia se reconvierte en la franquicia absoluta.
• En el límite en que α = B = 0, la franquicia desaparece.
• Si B → ∞, el asegurado soporta siempre un porcentaje del siniestro sin un máximo que limite la cantidad soportada por el asegurado.
• Fórmulas relacionadas:
  • L = B/α
  • d = α(1 · e-B/(c*α))
  • Si B → ∞, entonces c(x) = (1 - α) · C

Valor Actual Actuarial (VAA) y Cálculos de Primas

El símbolo tEx representa la esperanza del valor actual financiero de la prestación de capital diferido. Es el Valor Actual Actuarial (VAA) de la operación, que se corresponde con la prima pura única que el asegurador cobraría por dicha prestación.

Propiedades del Valor Actual Actuarial (VAA)

1. 0Ex = 1
2. w-xEx = 0
3. Es estrictamente decreciente.
4. Escindibilidad:
   • t1+t2Ex = t1Ex · t2Ex+t1
   • t1+t2Bx = Vt1+t2+1 · t1+t2|1qx = Vt1+t2+1 · t1+t2Px · 1qx+t1+t2 = Vt1+t2+1 · t1Px · t2Px+t1 · 1qx+t1+t2 = Vt1+t2+1 · t1Px · t2|1qx+t1 = t1Ex · t2Bx+t1

Ejemplos de Cálculos Actuariales

Cálculo de VAA para Renta Anual

Este bloque calcula el Valor Actual Actuarial (VAA) para una renta anual, considerando un periodo prepagable.

t <- 20:85
u <- 6000 + 500 * (t - 20)
v <- 1.025^-(t + 1)
l84 <- conslm(1984)
p <- l84[32 + t] / l84[31] # Al numerador se le ha sumado 2 porque es prepagable
vaa <- sum(u * v * p)
# vaa cuando se pide la cuantía del primer término de una renta anual hasta la "p", todo igual.
vaasc <- sum(u * v * p)
c <- 24450 / vaasc

Cálculo de VAA con Interpolación

Este ejemplo muestra el cálculo del VAA utilizando interpolación para la tabla de mortalidad.

s <- 0:203 # Se ha restado un periodo
u <- 300
v <- 1.02^-(s / 4)
l49k4 <- aprol() # Interpolación
p <- l49k4[261 + s] / l49k4[261] # Solo se le suma un periodo porque es prepagable
vaa <- sum(u * v * p)

Cálculo de VAA de Primas a Pagar por el Asegurado

Cálculo del Valor Actual Actuarial de las primas a pagar por el asegurado para un seguro específico.

s <- 0:75 # Se ha restado un periodo
u <- 156 + 7.8 * floor(s / 4)
v <- 1.02^-(s / 4)
l68k4 <- aprol() # Interpolación
p <- l68k4[185 + s] / l68k4[185] # Solo se le suma un periodo porque es prepagable
vaarp <- sum(u * v * p)

Seguro de Instante de Fallecimiento

Cálculo del VAA para un seguro de fallecimiento cuya prestación se paga en el instante del deceso.

t <- 0:14 # Se ha restado un periodo
u <- 150000
v <- 1.025^-(t + 1)
q <- (lpasemf10[41 + t] - lpasemf10[42 + t]) / lpasemf10[41]
vaasc <- (0.025 / log(1.025)) * sum(u * v * q)

Prima Pura Única: Seguro de Fallecimiento a Fin de Año

Determinación de la prima pura única para un seguro de fallecimiento con pago a fin de año.

t <- 5:19
u <- 75000 * 1.035^(t - 5)
v <- 1.025^-(t + 1)
q <- (lpasemm10[51 + t] - lpasemm10[52 + t]) / lpasemm10[51]
vaas <- sum(u * v * q)

Cálculo del VAA de Seguro de Reembolso

Cálculo del Valor Actual Actuarial para un seguro de reembolso, incluyendo el reembolso en el instante de fallecimiento.

# t, u, v, q son iguales a los de un cálculo previo (no especificado aquí)
vaasra <- sum(u * v * q) # VAA del seguro de reembolso
vaasrc <- (0.03 / log(1.03)) * vaasra # Reembolso en el instante de fallecimiento

Obtención del Importe de la Prima Pura (Seguro y Reembolso)

Proceso para calcular la prima pura cuando se combinan un seguro y un seguro de reembolso.

1. Calcular para las primas pagadas:

   t, v, l77, p # Variables de un cálculo previo
   vaapsp <- sum(v * p)

2. Calcular la renta que se paga:

   s, u, v
   l77k2 <- aprol() # Interpolación
   p # Variable de un cálculo previo
   vaar <- sum(u * v * p)

3. Calcular el reembolso de primas:

   t, u, v, q # Variables de un cálculo previo
   vaassp <- (0.02 / log(1.02)) * sum(u * v * q)

4. Prima Pura Final:

   prima <- vaar / (vaapsp - vaassp) # Si se solicita la prima pura