Principios y Operación de Motores Asíncronos Trifásicos: Par, Campos y Frenado

Comparación del Par de Arranque: Conexión Estrella vs. Triángulo

Demostrar que la relación entre el par de arranque de una máquina asíncrona con el estator conectado en triángulo es tres veces superior al de la misma máquina con el estator conectado en estrella.

El par de arranque (T_arr) es proporcional al cuadrado de la tensión de fase aplicada (V_fase²). En conexión estrella, V_{fase_estrella} = V_línea / √3. En conexión triángulo, V_{fase_triángulo} = V_línea.

La relación de pares es:

T_{arr_estrella} / T_{arr_triángulo} = (V_{fase_estrella} / V_{fase_triángulo})² = ( (V_línea / √3) / V_línea )² = (1/√3)² = 1/3

Por lo tanto:

T_{arr_estrella} = (1/3) * T_{arr_triángulo}

Asimismo, la corriente de línea en el arranque (I_{L_arr}) también se reduce en la conexión estrella. La corriente de fase I_fase = V_fase / Z_eq.

• En estrella: I_{L_arr_estrella} = I_{fase_estrella} = (V_L / √3) / Z_eq
• En triángulo: I_{fase_triángulo} = V_L / Z_eq, y I_{L_arr_triángulo} = √3 * I_{fase_triángulo} = √3 * (V_L / Z_eq)

La relación de corrientes de línea es:

I_{L_arr_estrella} / I_{L_arr_triángulo} = [ (V_L / √3) / Z_eq ] / [ √3 * (V_L / Z_eq) ] = (1/√3) / √3 = 1/3

Es decir, tanto la corriente de arranque de línea como el par de arranque en estrella son la tercera parte de los valores correspondientes en triángulo.

Sincronismo de los Campos Magnéticos Estatórico y Rotórico

Demostrar que el campo magnético producido por las corrientes estatóricas de una máquina de inducción gira a la misma velocidad síncrona (ω_s) que el campo magnético producido por las corrientes inducidas en el rotor, visto desde el estator.

La velocidad angular del campo magnético rotórico respecto al estator (ω_{campo_rotor/estator}) es la suma de:

• La velocidad angular del campo magnético rotórico respecto al propio rotor (ω_{campo_rotor/rotor}).
• La velocidad angular mecánica del rotor respecto al estator (ω_m).

Sabemos que:

• La frecuencia de las corrientes rotóricas es f_r = s * f₁, donde 's' es el deslizamiento y f₁ es la frecuencia estatórica. El campo que crean estas corrientes gira respecto al rotor a una velocidad síncrona correspondiente a f_r: ω_{campo_rotor/rotor} = 2π * f_r / p = 2π * (s * f₁) / p = s * (2π * f₁ / p) = s * ω_s.
• La velocidad mecánica del rotor es ω_m = (1 - s) * ω_s.

Por lo tanto:

ω_{campo_rotor/estator} = ω_{campo_rotor/rotor} + ω_m = (s * ω_s) + ((1 - s) * ω_s) = s*ω_s + ω_s - s*ω_s = ω_s

Esto demuestra que la velocidad del campo magnético rotórico respecto al estator es igual a la velocidad síncrona (ω_s), la misma que la del campo magnético estatórico. Es decir, las ondas de fuerza magnetomotriz creadas por el rotor y por el estator giran en sincronismo respecto al estator.

Cálculo del Par de Frenado por Contramarcha

Problema: Un motor asíncrono trifásico de 4 polos (p=2 pares de polos) y rotor bobinado tiene los siguientes parámetros del circuito equivalente por fase (referidos al estator): R₁ = 0.1 Ω, R'₂ = 0.1 Ω, X₁ = 0.5 Ω, X'₂ = 0.5 Ω. Gira a una velocidad nominal n = 1450 rpm. Está alimentado por una red trifásica de V_L = 400 V y f = 50 Hz. Se invierte la alimentación de dos fases. Calcular el par de frenado en el instante en que se produce la conmutación.

Pasos de Cálculo:

1. Velocidad síncrona (n_s):

   n_s = 60 * f / p = 60 * 50 / 2 = 1500 rpm

2. Deslizamiento nominal (s):

   s = (n_s - n) / n_s = (1500 - 1450) / 1500 = 50 / 1500 = 1/30 ≈ 0.0333

3. Deslizamiento en contramarcha (s'): Al invertir dos fases, el campo gira en sentido contrario (-n_s). La velocidad del rotor sigue siendo n ≈ (1-s)n_s en el instante inicial.

   s' = (-n_s - n) / (-n_s) = (n_s + n) / n_s = (n_s + (1-s)n_s) / n_s = (2 - s)n_s / n_s = 2 - s

   s' = 2 - 1/30 = 59/30 ≈ 1.9667

4. Tensión de fase (V₁): Asumiendo conexión estrella (la más común si no se especifica):

   V₁ = V_L / √3 = 400 V / √3 ≈ 230.9 V

5. Corriente rotórica referida (I'₂) en contramarcha:

   I'₂ = V₁ / √[(R₁ + R'₂/s')² + (X₁ + X'₂)²]

   I'₂ = 230.9 / √[(0.1 + 0.1/1.9667)² + (0.5 + 0.5)²]

   I'₂ = 230.9 / √[(0.1 + 0.0508)² + (1.0)²]

   I'₂ = 230.9 / √[0.1508² + 1²] = 230.9 / √[0.02275 + 1] ≈ 230.9 / 1.0113 ≈ 228.3 A

   (Nota: El valor original proporcionado en el documento fuente para esta corriente parecía incorrecto).

6. Par de frenado (T): El par electromagnético se calcula como la potencia transmitida a través del entrehierro dividida por la velocidad síncrona angular.

   P_gap = 3 * (I'₂)² * (R'₂ / s')

   ω_s = 2π * n_s / 60 = 2π * 1500 / 60 = 50π rad/s ≈ 157.08 rad/s

   T = P_gap / ω_s = [3 * (I'₂)² * (R'₂ / s')] / ω_s

   T = [3 * (228.3)² * (0.1 / 1.9667)] / 157.08

   T = [3 * 52120.89 * 0.0508] / 157.08 ≈ 7944.5 / 157.08 ≈ 50.58 N·m

   Este es el par electromagnético desarrollado. Como actúa en sentido contrario al giro inicial (debido a s' > 1), es un par de frenado.

Efecto de la Inversión de Fases: Frenado por Contracorriente

Explicar el efecto de permutar la alimentación de dos fases del estator en una máquina asíncrona.

Este procedimiento constituye uno de los métodos de frenado de los motores asíncronos, conocido como frenado por contracorriente o frenado en contramarcha (en inglés, plugging).

Cuando en un motor asíncrono trifásico se invierte la conexión de dos de las fases de alimentación, el estator pasa a ser alimentado por un sistema de tensiones de secuencia de fase inversa. Esto provoca una inversión inmediata en el sentido de giro del campo magnético giratorio en el entrehierro.

Consecuentemente:

• La velocidad de sincronismo cambia de sentido (pasa de +ω_s a -ω_s).
• La curva característica par-velocidad del motor se invierte respecto al eje del par (eje vertical).
• Si el rotor seguía girando en el sentido original en el instante de la inversión, el deslizamiento respecto al nuevo campo inverso se vuelve mayor que 1 (s' = 2 - s > 1), y el motor desarrolla un par electromagnético que se opone al movimiento (par de frenado), generalmente muy elevado.

Cálculo de la Velocidad Relativa del Campo Rotórico

Problema: Tenemos un motor asíncrono de 8 polos (2p=8) alimentado a 50 Hz que gira a 735 rpm. Determinar la velocidad del campo magnético del rotor respecto al propio rotor.

Datos y Cálculos:

• Número de polos: 2p = 8 => Número de pares de polos: p = 4
• Frecuencia de alimentación estatórica: f₁ = 50 Hz
• Velocidad del rotor: n = 735 rpm

1. Velocidad síncrona (n_s):

   n_s = 60 * f₁ / p = 60 * 50 / 4 = 750 rpm

2. Deslizamiento (s):

   s = (n_s - n) / n_s = (750 - 735) / 750 = 15 / 750 = 1/50 = 0.02

3. Velocidad del campo magnético del rotor respecto al rotor (n_rel): Esta es la velocidad a la que el campo magnético "corta" los conductores del rotor.

   n_rel = n_s - n = s * n_s

   n_rel = 0.02 * 750 rpm = 15 rpm

   (También se puede expresar en velocidad angular: ω_rel = s * ω_s)

Nota: La frecuencia de las corrientes inducidas en el rotor (f_r) está directamente relacionada con esta velocidad relativa:

f_r = s * f₁ = 0.02 * 50 Hz = 1 Hz