Principios de Mecánica de Fluidos: Compresibilidad y Presión Hidrostática

Compresibilidad de Líquidos

La compresibilidad de un líquido se cuantifica mediante el módulo de elasticidad volumétrica, denotado por β. Este parámetro indica cuánto disminuye el volumen de un líquido bajo un incremento de presión.

Ejercicio 1: Cálculo del Módulo de Elasticidad Volumétrica

Se ejerce una presión sobre un líquido, aumentando de 500 a 1000 kp. Como resultado, su volumen disminuye en un 1%. Se solicita determinar la constante de compresibilidad (β) del líquido.

La relación entre el cambio de presión (ΔP), el cambio de volumen (ΔV) y el volumen inicial (Vi) se expresa mediante la siguiente fórmula:

ΔV = -β * Vi * ΔP

Donde:

• ΔV es la variación del volumen.
• Vi es el volumen inicial.
• ΔP es la variación de la presión.
• β es el módulo de elasticidad volumétrica.

En este caso, ΔV = -0.01 * Vi y ΔP = 1000 kp - 500 kp = 500 kp.

Sustituyendo en la fórmula:

-0.01 * Vi = -β * Vi * 500 kp

Despejando β:

β = 0.01 / 500 kp = 0.00002 kp^-1

Ejercicio 2: Variación de Volumen del Agua

Determinar la variación de volumen de 1 m³ de agua a 27 °C al aumentar la presión en 21 kp/cm². Se sabe que el módulo de elasticidad volumétrica (β) del agua a 27 °C es 22,9 x 10³ kp/m³.

Primero, convertimos la presión a kp/m²:

ΔP = 21 kp/cm² * (10000 cm²/m²) = 210000 kp/m²

Utilizando la fórmula ΔV = -β * Vi * ΔP:

ΔV = -(22,9 x 10³ kp/m³) * (1 m³) * (210000 kp/m²)

ΔV = -4.809 x 10⁹ m³

La variación de volumen es de -4.809 x 10⁹ m³.

Presión Hidrostática y Principio de Pascal

Ejercicio 3: Presión Manométrica en un Depósito

En un depósito se tienen aceite (densidad 820 Kg/M³) y mercurio (densidad 13600 Kg/M³). Determinar la presión manométrica en el punto A.

La presión debida a la columna de mercurio (P1) se calcula como:

P1 = Densidad_mercurio x g x h_mercurio

P1 = 13600 Kg/m³ x 9,8 m/s² x 0,5 m

P1 = 66640 N/m²

La presión manométrica en A (PA) es la suma de la presión del mercurio y la presión debida a la columna de aceite:

PA = P1 + Densidad_aceite x g x h_aceite

PA = 66640 N/m² + 820 Kg/m³ x 9,8 m/s² x 1 m

PA = 66640 N/m² + 8036 N/m²

PA = 74676 N/m²

Ejercicio 4: Presión Manométrica para Nivel B

¿Cuál es la presión manométrica en A para que la glicerina llegue al nivel B en el tubo piezométrico?

Se tienen las siguientes densidades relativas (o pesos específicos):

• Gama Aceite = 833,7 Kp/m³
• Gama Glicerina = 1250,6 Kp/m³

La ecuación de presiones es:

PA + Gama_aceite x h_aceite + Gama_glicerina x h_{glicerina_columna_inferior} = Gama_glicerina x h_{glicerina_columna_total}

PA + 833,7 Kp/m³ x (7,62 – 3,60) m + 1250,6 Kp/m³ x (3,60 – 1,52) m = 1250,6 Kp/m³ x (9,15 – 1,52) m

PA + 3351,474 Kp/m² + 2601,248 Kp/m² = 9542,078 Kp/m²

PA = 9542,078 Kp/m² - (3351,474 Kp/m² + 2601,248 Kp/m²)

PA = 9542,078 Kp/m² - 5952,722 Kp/m²

PA = 3589,356 Kp/m²

Ejercicio 5: Peso de un Pistón

Para el sistema indicado, calcular el peso del pistón si la lectura de la presión manométrica es de 70 kPa.

La relación entre presión (P), fuerza (F) y área (A) es P = F/A, por lo tanto, F = P x A.

Convertimos la presión a N/m²:

P = 70 kPa = 70000 N/m²

Asumiendo un diámetro (D) para el pistón (no especificado en el texto, pero necesario para el cálculo). Si tomamos un diámetro de referencia, por ejemplo, 0.1 m (para que el cálculo sea posible):

Área (A) = π * (D/2)² = π * (0.1 m / 2)² = π * (0.05 m)² = 0.007854 m²

Fuerza (F) = P x A = 70000 N/m² x 0.007854 m²

F = 549.78 N

Este cálculo asume un diámetro de pistón. Si el diámetro fuera diferente, la fuerza cambiaría proporcionalmente al área.

Prensas Hidráulicas y Principio de Arquímedes

Ejercicio 6: Fuerza en una Prensa Hidráulica

Determinar la fuerza P que desarrolla una prensa hidráulica alimentada por una bomba manual. El diámetro del émbolo de la bomba es 20 mm (0.02 m) y el diámetro del émbolo de la prensa es 200 mm (0.2 m). El peso del émbolo de la prensa es 200 kp. El esfuerzo aplicado Q = 25 kp. La relación entre a y b es (a + b)/a = 10.

Aplicando el principio de momentos en la manivela:

∑mo = F x a = (a + b) x Q

Despejando la fuerza F en el émbolo pequeño:

F = (a + b)/a x Q

F = 10 x 25 kp

F = 250 kp

Ahora calculamos la presión generada por la bomba:

Área del émbolo pequeño (A_bomba) = π * (0.02 m / 2)² = π * (0.01 m)² = 0.00031416 m²

Presión (P) = F / A_bomba = 250 kp / 0.00031416 m² ≈ 795773 kp/m²

Esta presión se transmite al émbolo grande de la prensa.

Área del émbolo grande (A_prensa) = π * (0.2 m / 2)² = π * (0.1 m)² = 0.031416 m²

Fuerza P desarrollada por la prensa = P x A_prensa

P = 795773 kp/m² x 0.031416 m² ≈ 25000 kp

Considerando el peso del pistón de la prensa:

Fuerza total = Fuerza P - Peso del pistón

Fuerza total = 25000 kp - 200 kp = 24800 kp

F = 24800 kp

Ejercicio 7: Flotabilidad de un Iceberg

Un iceberg con un peso específico de 913 kp/m³ flota en agua de mar con un peso específico de 1025 kp/m³. El volumen emergido es de 594,3 m³. Calcule el volumen total del iceberg.

Según el principio de Arquímedes, el peso del iceberg es igual al peso del líquido desplazado.

Peso del iceberg = Peso del agua de mar desplazada

Gama_iceberg x Vol_total = Gama_{agua de mar} x Vol_sumergido

Donde Vol_total = Vol_emergido + Vol_sumergido

913 kp/m³ x (594,3 m³ + Vol_sumergido) = 1025 kp/m³ x Vol_sumergido

542997,9 kp + 913 kp/m³ x Vol_sumergido = 1025 kp/m³ x Vol_sumergido

542997,9 kp = (1025 kp/m³ - 913 kp/m³) x Vol_sumergido

542997,9 kp = 112 kp/m³ x Vol_sumergido

Vol_sumergido = 542997,9 kp / 112 kp/m³

Vol_sumergido = 4848,2 m³

Volumen total = Vol_sumergido + Vol_emergido

Volumen total = 4848,2 m³ + 594,3 m³

Volumen Total = 5442,5 m³

Ejercicio 8: Flotabilidad de un Cilindro Hueco con Plomo

Un cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,5 m de altura pesa 400 kp.

Caso 1: Plomo unido al fondo

¿Cuántos kg de plomo de peso específico 11200 kp/m³ deben unirse al fondo del cilindro para que flote verticalmente con 1 m sumergido en agua (peso específico del agua ≈ 1000 kp/m³)?

Peso del cilindro + Peso del plomo = Peso del agua desplazada

400 kp + Peso_plomo = 1000 kp/m³ x Volumen_sumergido

El volumen sumergido es el área de la base por la altura sumergida:

Área base = π * (1 m / 2)² = π * (0.5 m)² = 0.7854 m²

Volumen_sumergido = 0.7854 m² x 1 m = 0.7854 m³

Peso del agua desplazada = 1000 kp/m³ x 0.7854 m³ = 785.4 kp

400 kp + Peso_plomo = 785.4 kp

Peso_plomo = 785.4 kp - 400 kp = 385.4 kp

Se necesitan 385.4 kg de plomo unidos al fondo.

Caso 2: Plomo en el interior del cilindro

¿Cuántos kg de plomo se necesitan si este se coloca en el interior del cilindro para que flote también con 1 m sumergido?

En este caso, el peso total (cilindro + plomo) debe ser igual al peso del agua desplazada.

Peso del cilindro + Peso del plomo = Peso del agua desplazada

400 kp + Peso_plomo = 785.4 kp

Peso_plomo = 785.4 kp - 400 kp = 385.4 kp

Se necesitan 385.4 kg de plomo en el interior del cilindro.