Principios de la Mecánica Celeste y Potencial Gravitatorio

Movimiento Planetario: Las Leyes de Kepler

Las Leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol:

• 1ª Ley: Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos.
• 2ª Ley: El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
• 3ª Ley: Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las elipses (T² = k · a³).

Newton dedujo la forma de la fuerza Sol-planetas y pudo calcular que la fuerza que hacía girar a la Luna alrededor de la Tierra coincidía con la fuerza que atraía a las manzanas del árbol al suelo. Estos fenómenos se deben a la ley de conservación del momento cinético.

Si el vector de posición r y la velocidad v son perpendiculares, la trayectoria es plana. La velocidad con que el vector r barre áreas es dA/dt = 1/2 |r x v| = 1/2 |L|/m. Solo la dependencia inversamente proporcional al cuadrado de la distancia conduce a que todas las órbitas acotadas sean elípticas. De esta forma, Newton llegó a la Ley de Gravitación Universal.

Determinación del Potencial Gravitatorio

Es posible calcular el centro de gravedad (CG) sumando los campos producidos por cada masa. La misma ley sirve para el potencial y, en caso de medios continuos, la suma se sustituye por una integral.

El potencial fuera de la esfera es el mismo que si toda la masa estuviese concentrada en el origen. Dentro de la esfera, el potencial es constante y coincide con el valor en la superficie.

Peso, Peso Aparente y Aceleración de la Gravedad

El peso es la combinación de la fuerza centrífuga de la Tierra con la aceleración gravitatoria. La fuerza por unidad de masa sería la aceleración de la gravedad:

Cuyo valor varía con la latitud.

Resumen de Mecánica Celeste

Recordatorio de las leyes de Kepler:

• 1ª Ley: Los planetas describen órbitas elípticas, situando al Sol en uno de sus focos.
• 2ª Ley: El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
• 3ª Ley: Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las elipses (T² = k · a³).

Newton dedujo la forma de la fuerza Sol-planetas y pudo calcular la fuerza que hacía girar a la Luna alrededor de la Tierra; esta coincidía con la fuerza de la gravedad que atraía a las manzanas al suelo. Estos movimientos se deben a la ley de conservación del momento cinético.

Si r y v son perpendiculares, la trayectoria es plana. La velocidad con que barre un área el vector r es dA/dt = 1/2.