Principios de la Lógica de Primer Orden: Variables, Fórmulas y Sustitución

1. ¿Cómo se define un lenguaje de primer orden?

El lenguaje de primer orden es un sistema formal diseñado para estudiar **objetos** (o individuos), sus **propiedades**, las **relaciones** entre ellos y **expresiones cuantificadas** que los involucran. Además, con individuos, propiedades, relaciones y cuantificadores, es posible formar enunciados, lo que significa que conserva los recursos de la **lógica proposicional**.

Está formado por los siguientes tipos de símbolos:

• Constantes: (ej., a, b, c, con o sin subíndices).
• Símbolos de propiedades: (ej., P, Q).
• Símbolos lógicos: (¬, →, ∨, ∧, ↔).
• Los dos cuantificadores: **∀** ('para todo') y **∃** ('existe al menos uno').
• El símbolo de igualdad: =.
• Variables: (ej., x, y, z, ...).
• Paréntesis.

Si t1 y t2 son dos términos, t1=t2 es también una **fórmula bien formada**. Si A y B son fórmulas bien formadas, también lo son ¬A, ∀x A, ∃x A, etc.

2. ¿Qué diferencia hay entre variables libres y variables ligadas?

Las **variables libres** son aquellas que no se ven afectadas por ningún cuantificador. En cambio, las variables afectadas por estos se denominan **variables ligadas**. Una vez ligadas, las variables pierden su individualidad, marcando las posiciones a las que afecta cada cuantificador dentro de una fórmula.

3. ¿Qué diferencia hay entre fórmulas y sentencias?

Una **fórmula** es una expresión que puede ser simple o compleja y que puede contener o no **variables libres**. Por otro lado, las **sentencias** (o enunciados) son aquellas fórmulas que no contienen variables libres.

4. ¿Por qué son necesarias las variables libres en lógica de primer orden?

Las **variables libres** son esenciales porque, para construir y estudiar el lenguaje de primer orden de manera **recursiva**, es necesario aceptar fórmulas que las contengan, es decir, fórmulas que no estén completamente cuantificadas. El concepto que se define recursivamente es, precisamente, el **conjunto de todas las fórmulas**.

5. ¿Qué concepto de sustitución se utiliza en la lógica de primer orden, qué dificultad presenta y cómo se resuelve?

La **sustitución** en la lógica de primer orden implica **reemplazar variables libres por otros términos**. Es decir, dada una fórmula A, la expresión A(t/x) representa la fórmula que se obtiene al reemplazar todas las **ocurrencias libres** de la variable x en A por el término t.

Surge una complicación: al sustituir en una fórmula como ∃y R(x,y) (donde R(x,y) significa 'x está relacionado con y'), si reemplazamos x por una constante c, obtenemos ∃y R(c,y) ('existe algo relacionado con c'). Sin embargo, si sustituimos x por la variable y, obtenemos ∃y R(y,y) ('existe algo relacionado consigo mismo'), lo cual altera el significado original y no es lo deseado.

El problema radica en que la variable y que reemplaza a x debería permanecer libre para que la fórmula resultante conserve el significado deseado, pero queda **ligada** por el cuantificador existencial ∃y. La **solución** consiste en renombrar la variable ligada y por otra variable z (que no aparezca en la fórmula original A) antes de realizar la sustitución. De este modo, la nueva variable y (que sustituye a x) no será ligada por el cuantificador. Lo esencial es elegir una variable que no cause **captura de variable**.

Resumen de la Sustitución

• Si t es una **constante** o una **variable que no aparece ligada** en la fórmula A, la sustitución A(t/x) se obtiene simplemente reemplazando todas las ocurrencias libres de x en A por ocurrencias de t.
• Si t es una **variable** (digamos y) que **aparece ligada** en la fórmula A, para obtener A(t/x), se debe renombrar la variable ligada y por una nueva variable z (que no aparezca en A). Luego, en la fórmula resultante, se reemplazan las ocurrencias libres de x por y. Este proceso se conoce como **renombramiento de variables ligadas** para evitar la **captura de variables**.