Principios de la Lógica Formal: Construcción de Sistemas Deductivos

Principios de la Lógica Formal: La Deducción y los Sistemas Axiomáticos

La deducción en lógica no consiste en establecer si tales o cuales enunciados —relativos a una materia específica— son efectivamente verdaderos. Estudiar lógica consiste, más bien, en determinar qué otros enunciados, dados unos anteriores como verdaderos (axiomas o postulados), deben aceptarse también como verdaderos. La noción fundamental constitutiva de la lógica no es la verdad material o la verdad de hecho, sino la coherencia. La lógica no se ocupa de verdades materiales, sino de las relaciones formales entre ellas. Es decir, la expresión “razonamiento válido” es una abreviatura de “razonamiento formalmente válido”. Por eso se habla de validez formal.

Axiomatizar una teoría es organizar un conjunto de enunciados verdaderos partiendo de algunos de sus miembros, llamados axiomas o postulados, y mediante la aplicación de unas reglas de transformación, derivar los restantes enunciados de la teoría que quedan así demostrados y reciben el nombre de teoremas o leyes del sistema. Así, axiomas y teoremas utilizan un lenguaje de cálculo, mientras que las reglas pertenecen al metalenguaje.

Componentes de un Sistema Formal Axiomático

Un sistema formal axiomático se compone de los siguientes elementos:

A) Tabla de Símbolos o Alfabeto

Este componente define los elementos básicos del lenguaje del sistema.

1. Símbolos Elementales (Proposiciones)

   Son las piezas a manejar dentro del sistema. Han de estar definidos de forma efectiva; es decir, que podamos decidir ante un objeto cualquiera si ese objeto es o no miembro del conjunto en cuestión. Esta definición se consigue por una enumeración exhaustiva o por la definición de una propiedad precisa. En nuestro caso, se representarían así: 'p, q, r, s, t, u, etc.'.

2. Conectores Lógicos (Partículas de Enlace)

   Representan las operaciones lógicas que unen o modifican las proposiciones:

   • Negador (¬)
   • Conjuntor (∧)
   • Disyuntor (∨)
   • Implicador (→)
   • Coimplicador (↔)

3. Símbolos Auxiliares

   Elementos que ayudan a estructurar las expresiones:

   • Paréntesis
   • Corchetes
   • Líneas
   • Deductor
   • Números

B) Reglas de Formación de Fórmulas

Estas reglas establecen cuáles son las condiciones correctas posibles de los símbolos elementales para construir expresiones válidas. Este punto ha de proporcionar una definición de la noción de “fórmula bien formada” (FBF), también llamada “expresión bien formada”, de tal modo que sea posible decidir si es o no una fórmula bien construida. En nuestro caso, una fórmula es bien formada si cumple alguna de estas cláusulas:

1. Una variable de enunciado es una fórmula bien formada. Así, p, q, r... son FBFs (atómicas).
2. Una fórmula bien formada precedida del conector ¬ es una FBF. Así, ¬p, ¬q, son FBFs (moleculares).
3. Una fórmula bien formada seguida por cualquiera de los conectores, seguida de otra FBF y haciendo uso de los paréntesis, es una FBF (molecular).

C) Lista de Axiomas o Postulados

Son las fórmulas primitivas del sistema, que deben contener el menor número posible de elementos, ser evidentes y de las cuales no se pueda deducir ningún otro axioma.

D) Reglas de Inferencia o Transformación

Un repertorio de reglas que nos permite pasar de una FBF a otra FBF distinta, garantizando la validez de la deducción.

Es importante destacar que los puntos A) y B) constituyen la gramática o lenguaje del sistema, mientras que C) y D) conforman la lógica del sistema.

El Ideal de Sistematización Deductiva

El ideal de sistematización deductiva busca cumplir los siguientes principios:

• Perfecto rigor lógico.
• Ausencia de postulados tácitos.
• Imposibilidad de obtener una contradicción en el sistema.
• Menor número posible de axiomas.

Es decir, un sistema deductivo ideal debe cumplir los siguientes requisitos:

Consistencia

No debe dar lugar a contradicciones internas.

Completud

Debe tener los medios suficientes para derivar todos los enunciados válidos que se puedan formar con su lenguaje.

Decidibilidad

Debe permitir determinar si cualquier fórmula es válida o no dentro del sistema.

Independencia de los Axiomas

Ninguno de los axiomas debe poder deducirse de los otros.