Principios de Ingeniería: Conservación, Algoritmos y Modelado Matemático

Leyes de Conservación en Ingeniería

Además de la segunda ley de Newton, existen otros principios importantes en ingeniería, entre los más importantes están las leyes de conservación. Estas son fundamentales en una gran variedad de complejos y poderosos modelos matemáticos. Conceptualmente, las leyes de conservación en ciencia e ingeniería son fáciles de entender, ya que se pueden reducir a:

CAMBIO = INCREMENTO - DECREMENTO

Si no ocurre ningún cambio, el incremento y el decremento deben estar en equilibrio. El cálculo en estado estacionario tiene diversas aplicaciones en ingeniería, como para el flujo de un fluido en estado estacionario a través de tuberías.

Para la caída de un paracaidista, las condiciones de estado estacionario corresponden al caso en que la fuerza total es igual a cero: Mg = cv

En estado estacionario, las fuerzas hacia abajo y hacia arriba están equilibradas, y en la ecuación se puede encontrar la velocidad terminal: V = mg/c

Algoritmos y Convergencia

Conceptos Básicos: Algoritmos y Aproximaciones

Algoritmos

Son un conjunto de operaciones que se utilizan para resolver problemas específicos. Estas instrucciones indican la secuencia de operaciones que se deben realizar para que, partiendo de los datos de entrada, se pueda obtener el resultado buscado. Los algoritmos se utilizan en el mundo de la ciencia para la resolución metódica de problemas. Los algoritmos no siempre están escritos de una forma que conduce al programa más efectivo en términos de requisitos de tiempo o almacenamiento. Las características que deben cumplir son:

• Ser definido: Cada paso del algoritmo debe indicar la acción a realizar sin criterios de interpretación.
• Ser finito: Un número específico y numerable de pasos debe componer al algoritmo, el cual deberá finalizar al completarlos.
• Tener cero o más entradas: Los datos son proporcionados a un algoritmo como insumo para llevar a cabo las operaciones que comprende.
• Tener una o más salidas: Debe siempre devolver un resultado; de nada sirve un algoritmo que hace algo y nunca sabemos qué fue. Devolver un resultado no debe ser considerado únicamente como verlo en forma impresa o en pantalla, como ocurre con las computadoras. Por salida de resultados debe entenderse todo medio o canal por el cual es posible apreciar los efectos de las acciones del algoritmo.
• Efectividad: El tiempo y esfuerzo por cada paso realizado debe ser preciso, no usando nada más ni nada menos que aquello que se requiera para y en su ejecución.

Convergencia

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; es decir, se alejan cada vez más del resultado deseado. En la medida en que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad. Normalmente se pueden encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contrario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia. En métodos numéricos, la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.

Modelo Matemático

Un modelo matemático de un objeto es cualquier esquema simplificado e idealizado del mismo, constituido por símbolos y operaciones (relaciones) matemáticas. Un modelo matemático es un caso de formalización que emplea los más diversos instrumentos producidos en la ciencia matemática.

Modelo Matemático y Programación

Un modelo computacional es un modelo matemático en las ciencias de la computación que requiere extensos recursos computacionales para estudiar el comportamiento de un sistema complejo por medio de la simulación por computadora. El sistema bajo estudio es a menudo un sistema complejo no lineal para el cual las soluciones analíticas simples e intuitivas no están fácilmente disponibles. En lugar de derivar una solución analítica matemática para el problema, la experimentación se realiza con el modelo cambiando los parámetros del sistema en la computadora, y se estudian las diferencias en el resultado de los experimentos. Las teorías de la operación del modelo se pueden derivar/deducir de estos experimentos computacionales.

Programación Matemática

La programación matemática es una potente técnica de optimización utilizada en el proceso de toma de decisiones de numerosas organizaciones. Como otras ramas de la ciencia y la tecnología, la programación matemática se sirve de modelos para representar aquellos aspectos de la realidad que tienen influencia en su ámbito de interés, en este caso, las decisiones que optimizan el funcionamiento de un sistema. Tres son los procesos principales que llevan al diseño de un modelo de optimización. El primero y más decisivo consiste en la identificación de las posibles decisiones que pueden tomarse en el sistema y su representación en forma de variables: las variables de decisión. Normalmente, estas variables son de carácter cuantitativo, aunque también son posibles variables cualitativas que determinan una elección entre varias posibles. El segundo proceso consiste en la especificación del conjunto de valores de las variables de decisión que resultan admisibles en el sistema, es decir, el conjunto de restricciones que deben cumplir dichas variables. Este se determina teniendo presente la naturaleza física de los elementos del sistema y sus interrelaciones. El tercer proceso consiste en desarrollar un modelo de costes del sistema, es decir, determinar el coste/beneficio asociado a cada decisión admisible. Esto supone diseñar una función objetivo que asigne a cada conjunto posible de valores de las variables de decisión su valor de coste/beneficio. Los tres procesos anteriores, junto con los datos concretos del sistema, dan lugar al modelo de optimización.

Concepto de Variable Independiente y Variable Dependiente

Variable Independiente

Es el factor cambiable dentro del estudio. Puede valerse por sí sola y no es afectada por nada de lo que haga el experimentador ni por otra variable dentro del mismo experimento; de ahí su nombre de “independiente”. Es la variable que puede ser manejada o manipulada sistemáticamente por el experimentador, cuyos cambios controlados tienen un efecto directo en la variable dependiente. Hablando desde el punto de vista matemático, son los elementos de entrada a la ecuación o modelo de estudio y se representa en el eje de las abscisas (x) en una gráfica. En otras palabras, es la supuesta “causa” en la relación que se está estudiando. Generalmente, se elige una sola como variable independiente para evitar que varios factores a la vez tengan efectos en la variable dependiente. Si eso ocurriese, sería difícil identificar y medir cuál de las modificaciones en las variables “independientes” es la que está causando cambios en el comportamiento observado. La variable independiente también se le conoce como variable controlada o variable predictiva, dependiendo del tipo de estudio.

Variable Dependiente

Es el factor cambiable dentro del estudio cuyo comportamiento termina siendo afectado por los factores que el experimentador manipula. De ahí su nombre, ya que “depende” de los cambios hechos a la variable independiente. Es el foco del estudio en general, en el cual el experimentador centra sus observaciones y mediciones para ver cómo su comportamiento responde a los cambios controlados. En otras palabras, es el presunto “efecto” de la relación estudiada. Se representa en el eje de las ordenadas (y) de una gráfica, ya que son los elementos de salida de un modelo funcional o ecuación. Los cambios observados en esta variable son registrados meticulosamente como parte fundamental de los resultados del experimento. Dependiendo del tipo de estudio, también se le puede conocer como variable experimental, variable de medición o variable de respuesta.

Parámetros

1. En ciencias de la computación, un parámetro es una variable utilizada para recibir valores de entrada en una rutina, subrutina o método. Dichos valores, que serán enviados desde la rutina invocante, son llamados argumentos. La subrutina usa los valores asignados a sus parámetros para alterar su comportamiento en tiempo de ejecución. La mayor parte de los lenguajes de programación pueden definir subrutinas que aceptan cero o más argumentos.

2. Constante o variable que aparece en una expresión matemática y cuyos distintos valores dan lugar a distintos casos en un problema.