Principios Fundamentales de la Mecánica Estructural: Hipótesis, Esfuerzos y Grados de Indeterminación

Fundamentos de la Mecánica Estructural

Hipótesis de Pequeños Movimientos

La Hipótesis de Pequeños Movimientos establece que los desplazamientos son de pequeña magnitud en comparación con las dimensiones de las barras. Bajo esta premisa, las relaciones entre fuerzas y movimientos son lineales, y las relaciones entre movimientos también lo son.

Esta hipótesis conlleva dos tipos principales de implicaciones:

• Implicaciones Estáticas

  Las ecuaciones de equilibrio se plantean sobre la geometría indeformada de la estructura (St). La línea de acción de las cargas o esfuerzos axiles es la línea baricéntrica de la barra, y los esfuerzos axiles no modifican la rigidez a flexión de las barras.

• Implicaciones Cinemáticas

  La rotación es pequeña (lo que implica que $\text{tg}\theta \approx \text{sen}\theta \approx \theta$ y $\text{cos}\theta \approx 1$). La rotación de sólido rígido y la flexión no modifican la longitud de la barra, y las deformaciones son pequeñas y únicamente producidas por el esfuerzo axil.

Leyes de Esfuerzos y Funciones de Desplazamiento

Leyes de Esfuerzos

Los esfuerzos son fuerzas y momentos internos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones; es decir, se trata de la resultante de tensiones en la sección de la barra considerada. Las leyes de esfuerzos definen el valor del esfuerzo en todas las secciones de la barra en función de la coordenada $x$, indicando cuánto y cómo está solicitada la sección bajo un estado tensional concreto.

Representación en Ejes Locales y Criterios de Signos

La representación de los esfuerzos se realiza utilizando ejes locales y criterios de signos específicos.

Función Desplazamiento (Ley de Flechas)

Las funciones de desplazamiento definen el movimiento en una sección cualquiera de la barra, ya que representan la resultante o acumulación de deformaciones efectivas y de movimientos de sólido rígido hasta la sección considerada. Se expresan en ejes locales.

Definen el valor del movimiento en todas las secciones de la barra en función de la coordenada $x$, indicando cuánto y cómo se mueve dicha sección bajo un estado deformacional concreto. La función de desplazamiento, también conocida como Ley de Flechas, define el valor del desplazamiento según el eje $y$ de la barra de una sección cualquiera situada a una distancia $X$ del origen.

Grados de Indeterminación Estructural

Grado de Indeterminación Estática (GIE)

El GIE representa el número de fuerzas redundantes de la estructura. Es la diferencia entre el número de incógnitas estáticas y el número de ecuaciones estáticas. El número de estas fuerzas no varía para una misma estructura, aunque sí pueden variar las incógnitas estáticas que se elijan como redundantes. Las redundantes deben ser independientes entre sí.

Fórmula del GIE

$$\text{GIE} = 3B + R - (3N + D_{tb})$$

• $3B$: Número de incógnitas estáticas internas (barras).
• $R$: Número de incógnitas externas (reacciones).
• $3B + R$: Número total de incógnitas estáticas.

Clasificación Estructural: Hiperestático, Isostático e Hipostático

El hecho de que una estructura (St) tenga $\text{GIE}=0$ o $\text{GIE}>0$ no implica que no pueda ser un mecanismo, ya que puede existir una inestabilidad local. En una estructura, debemos observar si desarrolla movimientos de conjunto de sólido rígido o no.

Configuración Estática Admisible

• Si la estructura es hiperestática (GIE > 0), habrá infinitas configuraciones estáticas admisibles. Para obtenerlas, debemos seleccionar las redundantes, darles un valor arbitrario y equilibrar la estructura.
• Si la estructura es isostática (GIE = 0), habrá solo una solución, la cual se obtiene por equilibrio.
• Si la estructura fuera un mecanismo (hipostática o inestable), no hay equilibrio válido.

Grado de Indeterminación Cinemática (GIC)

El GIC es el número mínimo de movimientos con el que es posible definir la configuración cinemática completa de la estructura; es decir, el número de movimientos independientes incógnita de la estructura.

Son incógnitas cinemáticas los movimientos de nudo y de extremo de barra. Al aplicar las condiciones de compatibilidad en la barra y entre el extremo de barra y el nudo, estas incógnitas quedan reducidas a los movimientos de los nudos y a los de los extremos de barra que son diferentes de los de sus nudos asociados.

De este modo, el número mínimo de movimientos con el que es posible definir la configuración cinemática completa de la estructura es el movimiento de los nudos y extremos de barra con desconexiones, siempre que sean independientes.

Fórmula del GIC

$$\text{GIC} = 3(N_L + A) + D_{tb} + D_P - M_N - C_D$$