Principios Fundamentales de la Mecánica Cuántica: Dualidad, Incertidumbre y Orbitales

Fundamentos de la Teoría Cuántica

1. Dualidad Onda-Partícula

De Broglie, basándose en los resultados de Planck, Einstein y otros, supuso que cualquier partícula puede comportarse como una onda en algunas situaciones. Es decir, supuso que toda la materia tiene un comportamiento dual.

Dicho comportamiento ondulatorio vendrá caracterizado por una $\lambda$, llamada longitud de onda asociada a la partícula que estemos considerando. Esta $\lambda$ viene dada por la expresión:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Donde $h$ es la constante de Planck y $p = m \cdot v$ es la cantidad de movimiento de la partícula. Así, la expresión queda como:

$$\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$$

Un haz de electrones debería producir difracción al encontrarse con un obstáculo del tamaño adecuado. Empleando valores característicos, obtenemos $\lambda = 1,45 \cdot 10^{-10} \text{ m}$, es decir, aproximadamente la distancia entre átomos en algunos metales.

Para una partícula macroscópica, $\lambda = 6,6 \cdot 10^{-35} \text{ m}$. No existen en el universo obstáculos de tamaño tan pequeño. Por lo tanto, no podremos apreciar el carácter ondulatorio de una partícula macroscópica.

Consecuencia Importante: Cuantización de Órbitas

Una consecuencia importante de esta suposición es que explica la cuantización de las órbitas de los electrones en el átomo, considerando que dichas órbitas son ondas estacionarias para el electrón. La longitud de la órbita cumple que es un número entero de veces la $\lambda$ asociada.

2. Principio de Incertidumbre de Heisenberg

Heisenberg, teniendo en cuenta el carácter dual de la materia, descubrió que era imposible medir simultáneamente y con exactitud algunas magnitudes de un sistema. El principio establece:

• Es imposible medir simultáneamente y con total exactitud la posición y la cantidad de movimiento (velocidad) de una partícula.

Siempre la incertidumbre (error que podemos cometer) en la medida cumplirá la siguiente relación:

$$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$$

Donde $\Delta x$ y $\Delta p$ son las incertidumbres al medir la posición y la cantidad de movimiento. Se observa que si $\Delta x$ se hace muy pequeña (gran exactitud), $\Delta p$ se hará muy grande (mucho error).

Consecuencias del Principio de Incertidumbre

• Este principio limita en gran medida el conocimiento que podemos tener sobre la naturaleza.
• Ya no podemos hablar de posición o velocidad exactas de una partícula, únicamente de probabilidad de encontrar a una partícula en una determinada posición.
• Por lo tanto, el modelo de Bohr para el átomo ya no es válido; hay que buscar una nueva visión de las cosas, una nueva Física. Schrödinger, con su ecuación de onda, proporciona la herramienta de la Física Cuántica.

3. La Función de Onda (Ecuación de Schrödinger)

Schrödinger introduce el carácter ondulatorio del electrón en el estudio de la estructura atómica. Un electrón, por tanto, debe tener una función de onda $\Psi$ que describa su comportamiento. $\Psi$ se obtiene al resolver una ecuación de onda.

Consecuencias de la Ecuación de Onda

• Para un mismo átomo, las diferentes soluciones obtenidas son funciones que corresponden a los estados permitidos para el electrón en dicho átomo. Dichos estados permitidos se denominan orbitales.
• A cada orbital (estado permitido) le corresponde un valor de energía. Solo están permitidos, por tanto, ciertos valores de energía (la energía está cuantizada).
• La función de onda correspondiente a un determinado orbital viene determinada por cuatro números, llamados números cuánticos, que aparecen de forma natural al resolver la ecuación de onda. Estos números cuánticos marcan una distribución de los electrones en capas, subcapas y orbitales.

El Modelo Atómico Clásico-Cuántico

4. Modelo Atómico de Bohr

Bohr desarrolló un modelo atómico abandonando las consideraciones de la electrodinámica clásica y teniendo en cuenta la cuantización de la energía en la interacción radiación-materia:

• Consideró no aplicable el resultado clásico de que una carga acelerada emite radiación continuamente.
• Dio una explicación del espectro de emisión del átomo de Hidrógeno (H).

Postulados de Bohr

1. En un átomo, los electrones giran alrededor del núcleo en ciertas órbitas circulares estacionarias con una energía fija y definida. Estas órbitas presentan estabilidad mecánica, cumpliendo que la interacción eléctrica, entre el electrón y el núcleo, es la fuerza centrípeta que origina el movimiento circular.
2. Solo son posibles las órbitas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de $h/(2\pi)$.
3. El átomo emite energía cuando un electrón cambia de una órbita de mayor energía a otra de menor energía; esta energía se emite en forma de una onda electromagnética, cuya frecuencia cumple la condición cuántica de Planck. De la misma forma, si el electrón pasa de una órbita de menor energía a otra de mayor energía, el electrón debe absorber la diferencia ($\Delta E = h \cdot f$) también en forma de radiación electromagnética.