Principios Fundamentales de Lógica: Cuantificadores y Silogismos

Principios Fundamentales de Lógica: Cuantificadores y Silogismos Clásicos

Este documento compila las leyes y principios esenciales de la lógica, abarcando desde las interdefiniciones de cuantificadores hasta los modos clásicos del silogismo y las reglas de inferencia fundamentales. Comprender estas leyes es crucial para el razonamiento formal y la construcción de argumentos válidos.

Leyes de Interdefinición de los Cuantificadores

• ⊨ ∀x P(x) ↔ ¬∃x [ ¬P(x) ]
• ⊨ ∃x P(x) ↔ ¬∀x [ ¬P(x) ]
• ⊨ ∀x [ ¬P(x) ] ↔ ¬∃x P(x)
• ⊨ ∃x [ ¬P(x) ] ↔ ¬∀x P(x)

Leyes Aristotélicas de Oposición

• ⊨ ∀x [ P(x) → Q(x) ] ↔ ¬∃x [ P(x) ∧ ¬Q(x) ]
• ⊨ ∀x [ P(x) → ¬Q(x) ] ↔ ¬∃x [ P(x) ∧ Q(x) ]
• ⊨ ∃x [ P(x) ∧ Q(x) ] ↔ ¬∀x [ P(x) → ¬Q(x) ]
• ⊨ ∃x [ P(x) ∧ ¬Q(x) ] ↔ ¬∀x [ P(x) → Q(x) ]

Leyes Fundamentales de la Lógica Clásica

• Ley de Identidad: ⊨ ∀x [ P(x) ↔ P(x) ]
• Ley de Contradicción: ⊨ ∀x { ¬[ P(x) ∧ ¬P(x) ] }
• Ley del Tercio Excluso: ⊨ ∀x [ P(x) ∨ ¬P(x) ]

Leyes de Distribución y Contracción de Cuantificadores

Cuantificador Universal

• Ley de Distribución del Cuantificador Universal por la Conjunción: ⊨ ∀x [ P(x) ∧ Q(x) ] ↔ [ ∀x P(x) ∧ ∀x Q(x) ]
• Ley de Distribución del Cuantificador Universal por el Condicional: ⊨ ∀x [ P(x) → Q(x) ] → [ ∀x P(x) → ∀x Q(x) ]
• Ley de Distribución del Cuantificador Universal por el Bicondicional: ⊨ ∀x [ P(x) ↔ Q(x) ] → [ ∀x P(x) ↔ ∀x Q(x) ]
• Ley de Contracción del Cuantificador Universal por la Disyunción: ⊨ [ ∀x P(x) ∨ ∀x Q(x) ] → ∀x [ P(x) ∨ Q(x) ]

Cuantificador Particular

• Ley de Distribución del Cuantificador Particular por la Conjunción: ⊨ ∃x [ P(x) ∧ Q(x) ] → [ ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) ]
• Ley de Distribución del Cuantificador Particular por la Disyunción: ⊨ ∃x [ P(x) ∨ Q(x) ] ↔ [ ∃x P(x) ∨ ∃x Q(x) ]
• Ley de Contracción del Cuantificador Particular por el Condicional: ⊨ [ ∃x P(x) → ∃x Q(x) ] → ∃x [ P(x) → Q(x) ]

Leyes del Silogismo Clásico

Modos Clásicos del Silogismo

• Ley de Transitividad del Condicional o Ley del Modo Clásico del Silogismo “Barbara”:

  ⊨ { ∀x [ Q(x) → R(x) ] ∧ ∀x [ P(x) → Q(x) ] } → ∀x [ P(x) → R(x) ]

  Ejemplo: Todos los hombres son bípedos, todos los españoles son hombres, luego todos los españoles son bípedos.

• Ley del Modo Clásico del Silogismo “Celarent”:

  ⊨ { ∀x [ Q(x) → ¬R(x) ] ∧ ∀x [ P(x) → Q(x) ] } → ∀x [ P(x) → ¬R(x) ]

  Ejemplo: Ningún hombre es planta, todos los españoles son hombres, luego ningún español es planta.

• Ley del Modo Clásico del Silogismo “Darii”:

  ⊨ { ∀x [ Q(x) → R(x) ] ∧ ∃x [ P(x) ∧ Q(x) ] } → ∃x [ P(x) ∧ R(x) ]

  Ejemplo: Todos los japoneses comen pescado, algunos yudocas son japoneses, luego algunos yudocas comen pescado.

• Ley del Modo Clásico del Silogismo “Ferio”:

  ⊨ { ∀x [ Q(x) → ¬R(x) ] ∧ ∃x [ P(x) ∧ Q(x) ] } → ∃x [ P(x) ∧ ¬R(x) ]

  Ejemplo: Ningún filósofo es miope, algunos finlandeses son filósofos, luego algunos finlandeses no son miopes.

Leyes de Inferencia Lógica

• Ley Modus Ponendo Ponens: ⊨ { ∀x [ P(x) → Q(x) ] ∧ P(a) } → Q(a)
• Ley Modus Tollendo Tollens: ⊨ { ∀x [ P(x) → Q(x) ] ∧ ¬Q(a) } → ¬P(a)
• Ley de Inferencia de la Alternativa: ⊨ { ∀x [ P(x) ∨ Q(x) ] ∧ ¬P(a) } → Q(a)
• Ley de Especificación: ⊨ ∀x P(x) → P(a)
• Ley de Particularización: ⊨ P(a) → ∃x P(x)
• Ley de Reducción al Absurdo: ⊨ ∀x [ ¬P(x) → [ Q(x) ∧ ¬Q(x) ] ] → ∀x P(x)