Principios Fundamentales de la Física: Leyes de Kepler, Campos Gravitatorios y Generadores Eléctricos

Leyes de Kepler y el Movimiento Planetario

1. Primera Ley de Kepler: Órbitas Elípticas

La Primera Ley de Kepler establece que: “Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, estando el Sol en uno de los focos de la elipse.”

2. Segunda Ley de Kepler: Áreas Iguales en Tiempos Iguales

La Segunda Ley de Kepler enuncia que: “Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales.”

Esto implica que la velocidad orbital de un planeta varía a lo largo de su trayectoria:

• Cuando el planeta se encuentra en su punto más alejado del Sol (afelio), su velocidad es menor.
• Cuando el planeta está en su punto más cercano al Sol (perihelio), su velocidad es mayor.

Nota: La relación entre la distancia al Sol y las estaciones es una simplificación. Las estaciones se deben principalmente a la inclinación del eje de rotación de la Tierra, no a la distancia al Sol. Sin embargo, la duración de las estaciones sí se ve afectada por la velocidad orbital variable. Por ejemplo, el verano del hemisferio norte (cuando la Tierra está cerca del afelio) dura más que el verano del hemisferio sur (cuando la Tierra está cerca del perihelio) debido a la menor velocidad orbital en el afelio.

3. Tercera Ley de Kepler: Períodos y Distancias

La Tercera Ley de Kepler establece que: “Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas (o distancias medias al Sol).”

Matemáticamente, esto se puede derivar de la ley de gravitación universal de Newton. Si consideramos la fuerza gravitatoria como la fuerza centrípeta que mantiene al planeta en órbita:

F_g = F_c

G * M * m / r² = m * v² / r

Donde:

• G es la constante de gravitación universal.
• M es la masa del Sol.
• m es la masa del planeta.
• r es la distancia media del planeta al Sol (o semieje mayor).
• v es la velocidad lineal del planeta.

La velocidad lineal de giro v también se puede expresar como v = ωr = 2πr / T, donde ω es la velocidad angular y T es el período orbital.

Sustituyendo v en la ecuación de fuerzas:

G * M * m / r² = m * (2πr / T)² / r

G * M / r² = 4π²r / T²

Reorganizando para T²:

T² = (4π² / (G * M)) * r³

Dado que (4π² / (G * M)) es una constante para todos los planetas que orbitan alrededor del mismo cuerpo central (el Sol), podemos escribir:

T² = K * r³

Donde K es la constante de proporcionalidad de Kepler.

Campo Gravitatorio: Líneas de Fuerza y Superficies Equipotenciales

El campo gravitatorio, al igual que otros campos de fuerza, puede visualizarse y representarse mediante líneas de fuerza y superficies equipotenciales.

1. Líneas de Fuerza Gravitatoria

Las líneas de fuerza son representaciones gráficas que indican la dirección y el sentido de la fuerza gravitatoria en un punto específico del espacio. En otras palabras, muestran la trayectoria que seguiría una partícula de prueba si se colocara en ese punto.

Características de las líneas de fuerza en un campo gravitatorio:

• Son siempre de dirección radial y se dirigen hacia el centro de la masa que crea el campo, ya que la fuerza gravitatoria es siempre atractiva.
• Representan la dirección y el sentido de la fuerza que actuaría sobre una segunda masa colocada en ese punto.

Ejemplos de representación:

• Líneas de fuerza creadas por una masa puntual.
• Líneas de fuerza creadas por un sistema de dos masas iguales.

2. Superficies Equipotenciales Gravitatorias

Las superficies equipotenciales se obtienen al unir todos los puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio.

Propiedades importantes:

• Son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza en cualquier punto.
• El trabajo realizado por el campo gravitatorio para mover una masa de un punto a otro dentro de la misma superficie equipotencial es nulo. Esto se expresa como: W = -m (V_b - V_a) = 0, donde V_a y V_b son los potenciales gravitatorios en los puntos a y b, respectivamente.
• En el caso de una masa puntual, el potencial gravitatorio es el mismo en todos los puntos que se encuentran a igual distancia de la masa. Por lo tanto, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas a la masa que genera el campo.

(Ver Figura: Líneas de fuerza y superficies equipotenciales creadas por una masa puntual)

Generadores Eléctricos: Dinamos y Alternadores

1. ¿Qué es un Generador Eléctrico?

Un generador eléctrico es un dispositivo que transforma otro tipo de energía (mecánica, química, etc.) en energía eléctrica.

• Si el generador produce corriente continua (CC), se denomina dinamo.
• Si el generador produce corriente alterna (CA), se denomina alternador.

2. El Alternador: Generación de Corriente Alterna

Un alternador es un tipo de generador que produce corriente alterna, lo que significa que el sentido de circulación de las cargas eléctricas cambia periódicamente.

2.1. Principio de Funcionamiento

Un alternador básico consiste en una espira (o bobina) que gira con velocidad angular constante (ω) dentro de un campo magnético uniforme (&vec;B). Este movimiento provoca una variación periódica en el flujo magnético (Φ) que atraviesa la espira, lo que a su vez induce una corriente eléctrica, según la Ley de Faraday.

(Ver Figura: Esquema de un alternador con una espira giratoria)

2.2. Flujo Magnético Inducido

Suponiendo que la espira tiene un área S, el flujo magnético que la atraviesa en cada momento se calcula como:

Φ = &vec;B · &vec;S = B S cos θ

Donde θ es el ángulo entre el vector de campo magnético &vec;B y el vector normal al área de la espira &vec;S.

Si la espira gira con una velocidad angular ω, el ángulo θ puede expresarse como θ = ωt. Por lo tanto, el flujo magnético en función del tiempo es:

Φ(t) = B S cos(ωt)

2.3. Fuerza Electromotriz (FEM) Inducida

Según la Ley de Faraday de la inducción electromagnética, la fuerza electromotriz (FEM) inducida (ε) es la derivada negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

ε = - dΦ/dt = - d/dt (B S cos(ωt))

ε = B S ω sin(ωt)

Esta expresión también se puede escribir como:

ε = ε₀ sin(ωt)

Donde ε₀ = B S ω es la fuerza electromotriz inducida máxima.

La FEM inducida cambia sinusoidalmente con el tiempo, lo que la hace periódica y provoca que la polaridad cambie alternativamente. La frecuencia de la FEM inducida es la misma que la frecuencia de giro de la espira.

(Ver Figura: Gráfica de la FEM inducida en función del tiempo)

2.4. Intensidad de Corriente Inducida

La intensidad de la corriente inducida (I) se puede calcular aplicando la Ley de Ohm:

I = ε/R = (ε₀ sin(ωt))/R

Donde R es la resistencia total del circuito de la espira.

2.5. Alternadores Reales

En los alternadores de uso común, en lugar de una única espira, se utiliza una bobina compuesta por N espiras. En este caso, tanto el flujo magnético como la fuerza electromotriz inducida se multiplican por N, aumentando la eficiencia del generador.