Principios Fundamentales para la Estabilidad y Consistencia en la Discretización de Ecuaciones

Debe de tener consistencia en las caras de los volúMenes de control: Cuando una cara es común a dos volúMenes de control, el flujo que atraviesa esa cara debe representarse mediante la misma expresión en ambas ecuaciones de discretización.
Por ejemplo, el flujo de calor que sale de un volumen de control debe ser exactamente el mismo que el que entra al volumen vecino a través de esa cara. Si no se cumple, se violaría el balance de energía. Esto implica que los flujos en las caras deben considerarse como entidades propias, independientes de un volumen concreto, evitando inconsistencias entre celdas adyacentes.

Coeficientes positivos

En la ecuación discretizada, el valor de la variable dependiente en un nodo está influido por los valores de los nodos adyacentes. Para garantizar soluciones físicas, los coeficientes que multiplican a estos valores deben ser positivos. De esta manera, un incremento en el valor de un nodo vecino debe producir un aumento, y no un descenso, en el nodo central. Esto asegura que la interacción entre nodos respete la naturaleza difusiva y convectiva del problema. Si no se cumple esta regla, podrían aparecer soluciones no realistas, como oscilaciones numéricas o valores negativos de magnitudes que no deberían serlo (densidad, temperatura, etc.). 

Linealización de pendiente negativa del termino fuerte: Al linealizar el término fuente en la ecuación discretizada, el coeficiente asociado a la variable dependiente debe ser menor o igual que cero (SP ≤ 0). Esto se debe a que la mayoría de procesos físicos presentan una relación negativa entre la variable dependiente y su fuente. Si SP fuera positivo, un aumento de la variable generaría un aumento en el término fuente, que a su vez volvería a aumentar la variable, produciendo una inestabilidad y resultados no físicos. Ejemplo: en transferencia de calor, un término fuente proporcional a la temperatura con pendiente positiva produciría un crecimiento ilimitado de T, algo físicamente imposible.

Suma de los coeficientes adyacentes: La variable dependiente en un nodo debe expresarse como una media ponderada de los valores en los nodos adyacentes. Esto implica que si todas las condiciones de contorno se incrementan en una constante, la solución en todo el dominio también debe hacerlo en esa misma magnitud. De igual forma, si no existe término fuente y todos los nodos vecinos tienen el mismo valor, el nodo central debe adoptar exactamente ese valor. Esta regla asegura que la discretización reproduzca propiedades de invariancia de la ecuación diferencial original.