Principios Esenciales de Física: Homogeneidad Dimensional, Cinemática, Dinámica y Vectores

Homogeneidad Dimensional en Ecuaciones Físicas

La homogeneidad dimensional garantiza que las dimensiones de todos los términos de una ecuación sean iguales, lo que asegura su validez física. Esto se verifica comprobando que las unidades de cada término sean consistentes y equivalentes en ambos lados de la ecuación.

Si tenemos una magnitud S con dimensiones [S]=LaMbTc, y otras magnitudes P, Q, R con dimensiones:

• [P]=La1Mb1Tc1
• [Q]=La2Mb2Tc2
• [R]=La3Mb3Tc3

Para que una ecuación que involucre estas magnitudes sea dimensionalmente homogénea (por ejemplo, si S = Px1Qx2Rx3), las condiciones de equidimensionalidad para la magnitud S son:

• a1x1 + a1x2 + a3x3 = a
• b1x1 + b2x2 + b3x3 = b
• c1x1 + c2x2 + c3x3 = c

Coordenadas Intrínsecas: Descripción del Movimiento Curvilíneo

Las coordenadas intrínsecas son un sistema de referencia que se utiliza para describir el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curvilínea. Está formado por dos vectores unitarios:

• El vector tangencial (t̂), que tiene la dirección del movimiento.
• El vector normal (n̂), que apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

La aceleración (â) en coordenadas intrínsecas se expresa como:

â = att̂ + ann̂

Donde:

• at = dv/dt es la aceleración tangencial, que mide la variación del módulo de la velocidad.
• an = v2/ρ es la aceleración normal, que mide el cambio de dirección del movimiento y es inversamente proporcional al radio de curvatura ρ.

Teorema de las Fuerzas Vivas: Energía Cinética y Trabajo

El teorema de las fuerzas vivas, también llamado teorema de la energía cinética, establece que:

“El trabajo realizado por una fuerza (variable o no), que produce o modifica el movimiento de una partícula, es igual a la variación de su energía cinética.”

La energía cinética T de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v se define como:

T = ½mv2

Cuando una fuerza actúa sobre una partícula y la hace pasar de una velocidad v₁ a otra v₂, el trabajo total realizado (W_1→2) es:

W1→2 = T2 - T1 = ½mv22 - ½mv12

Este resultado se obtiene aplicando el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, y utilizando que F = m(dv/dt). Por tanto, si la energía cinética final es mayor que la inicial, el trabajo ha sido positivo (la partícula ha ganado velocidad); si es menor, el trabajo ha sido negativo (la partícula ha perdido velocidad).

Este teorema conecta directamente la dinámica (fuerza y movimiento) con el concepto de energía.

Momento Lineal y Principio de Conservación

El momento lineal de una partícula se define como el producto de su masa m por su velocidad v en un instante determinado. Es una magnitud vectorial:

p = mv

O también, en términos del vector de posición r respecto a un origen:

p = m(dr/dt)

El teorema de conservación del momento lineal establece que:

“Si sobre una partícula la fuerza total que actúa es nula, su momento lineal se mantiene constante durante el movimiento.”

Matemáticamente:

Si F = 0, entonces dp/dt = 0, lo que implica que p = mv = constante.

Este teorema coincide con la Primera Ley de Newton y nos dice que, en ausencia de fuerzas externas, una partícula conserva su velocidad y, por tanto, su momento lineal permanece constante.

Trabajo Mecánico: Concepto y Cálculo

El trabajo mecánico es una magnitud escalar que se realiza cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo y este se desplaza. Se define como el producto escalar de la fuerza F por el desplazamiento dr que produce:

dW = F · dr

Esto significa que solo hay trabajo si la fuerza provoca movimiento, y será mayor cuanto mayor sea la fuerza y el desplazamiento en la dirección de la fuerza. Si no hay desplazamiento, o la fuerza es perpendicular al movimiento, el trabajo es cero. Se mide en julios (J) en el Sistema Internacional.

Un ejemplo claro es cuando elevamos un objeto: si lo levantamos más alto o si el objeto pesa más, el trabajo realizado será mayor.

Cosenos Directores: Orientación de Vectores en el Espacio

Los cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos que dicho vector forma con los tres ejes coordenados X, Y, Z. Se utilizan para expresar la dirección del vector en el espacio.

Si un vector forma ángulos α, β, γ con los ejes X, Y, Z respectivamente, sus cosenos directores son: cos α, cos β, cos γ.

Estos permiten expresar el vector unitario (û) en la forma:

û = cos α î + cos β ĵ + cos γ k̂

Además, cumplen la relación fundamental:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Esta propiedad garantiza que el módulo del vector unitario sea igual a 1. Los cosenos directores son muy útiles para describir la orientación espacial de un vector, independientemente de su módulo.