Principios de Combinatoria: Fórmulas de Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

Introducción a la Combinatoria

Factorial de un Número

Se llama factorial de un número natural n, mayor que 1, al producto de n factores naturales en orden decreciente, empezando por n y llegando hasta 1. Se expresa como:

n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 1

Variaciones o Arreglos

Variaciones sin Repetición

Dado un conjunto A de n elementos y fijado un número natural h (tal que h ≤ n), se define como variación o arreglo de n elementos de orden h a los diferentes subconjuntos que satisfacen dos condiciones:

1. Cada subconjunto consta de h elementos.
2. Un subconjunto es diferente de otro si difieren al menos en un elemento o en el orden de presentación de sus elementos.

La fórmula para calcular las variaciones sin repetición es:

A_n,h = n! / (n-h)!

Variaciones con Repetición

Dado un conjunto con n elementos distintos, se denomina variación con repetición de orden h a cualquier grupo formado por h elementos, no necesariamente distintos, tomados del conjunto original. La fórmula es:

A'_n,h = n^h

Permutaciones

Las permutaciones son un caso particular de las variaciones en las que intervienen todos los elementos del conjunto (es decir, n = h). Se definen como permutaciones de orden n (P_n) a los arreglos de n elementos tomados de n en n.

P_n = A_n,n = n!

Combinaciones

Combinaciones Simples (sin repetición)

Dado un conjunto A de n elementos y un número natural h (tal que h ≤ n), se definen como combinaciones simples a los diferentes subconjuntos que se pueden formar sin repetir ningún elemento y que satisfacen las siguientes condiciones:

1. Cada subconjunto consta de h elementos.
2. Un subconjunto es diferente de otro si difiere al menos en un elemento, sin importar el orden.

La fórmula es:

C_n,h = n! / (h! · (n-h)!)

Números Combinatorios y Propiedades

Notación de Números Combinatorios

Los números combinatorios son una notación alternativa para expresar las combinaciones. Se representan de la siguiente manera:

C_n,h = (ⁿ_h)

Números Combinatorios Complementarios

Dos números combinatorios se consideran complementarios si tienen el mismo número de elementos (n) y la suma de sus órdenes (h y n-h) es igual al número total de elementos. Por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

(ⁿ_h) = (ⁿ_n-h)

Combinaciones con Repetición

Dado un conjunto de n elementos distintos, se llama combinación con repetición de orden h a cada grupo formado por h elementos (distintos o repetidos) tomados de los n disponibles. Se consideran grupos iguales aquellos formados por los mismos objetos, repetidos el mismo número de veces, sin importar el orden.

CR_n,h = C_n+h-1,h = (^n+h-1_h)

Aplicaciones: El Binomio de Newton

El Teorema del Binomio de Newton proporciona una fórmula que permite encontrar directamente el desarrollo de la potencia de un binomio (a+b)ⁿ para cualquier exponente n, sin necesidad de realizar multiplicaciones sucesivas.