Principios del Campo Eléctrico: Simetrías Fundamentales y Teorema de Gauss

Simetría Esférica

El sistema presenta simetría esférica, lo que permite afirmar que las líneas vectoriales del campo eléctrico deben ser radiales (hacia afuera, si la carga es positiva) y que el módulo de dicho campo solo puede depender de la distancia r al centro del sistema. Con estas consideraciones es posible utilizar el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico en cualquier punto del espacio, aplicándolo a superficies esféricas concéntricas con el sistema y de radio el correspondiente a cada caso. Tendríamos entonces: (Fórmula1)

Donde Q_enc representa la carga neta encerrada en el interior de la superficie esférica de radio r. En virtud de la simetría esférica, en toda la superficie de integración el vector campo eléctrico E será paralelo a dS y, además, su módulo, E, será el mismo. Con todo, nos quedará: (Fórmula2).

Simetría Cilíndrica

El sistema tiene simetría cilíndrica, al ser indefinido y estar cargado uniformemente, por lo que el campo eléctrico en cualquier punto debe ser perpendicular al eje del sistema y hacia afuera si su carga es positiva; además, el módulo del campo solo puede depender de la distancia r a dicho eje. Lo anterior nos permite utilizar el teorema de Gauss para el cálculo del campo eléctrico, tomando como superficie de integración superficies cilíndricas cerradas, coaxiales con el sistema y con radios que dependerán de la zona del espacio a estudiar: (Fórmula1).

Al ser el campo eléctrico perpendicular al eje del sistema, el flujo a través de las superficies superior e inferior de la superficie S que se indica en la figura (dibujar) será nulo, ya que en ellas los vectores E y dS son vectores paralelos; el módulo del campo eléctrico, E, es constante, lo que nos permite escribir: (Fórmula3).

Conceptos Adicionales en Electrostática

Potencial en el Infinito

Como la distribución de cargas es finita, el potencial en el infinito es nulo.

Dirección de las Líneas de Campo

Las líneas de campo eléctrico siempre van de potenciales mayores a los menores y de cargas positivas a negativas.

Densidad Superficial de Carga

Como el problema tiene simetría esférica, esta carga Q_int y la que se distribuye en Q_ext están uniformemente distribuidas.

Campo Nulo en Conductores en Equilibrio

E=0, ya que esta región es una región conductora en equilibrio electroestático.

Energía Conservativa del Campo Eléctrico

Como la circulación de E a lo largo de cualquier curva cerrada es cero, E es conservativo, y como F=qE, la fuerza eléctrica también es conservativa, es decir, se conserva la energía mecánica (E_mec).

Dipolo Eléctrico

Un dipolo eléctrico es un conjunto de dos distribuciones de carga en la que una de ellas tendrá una carga total +Q y la otra una carga total -Q, de tal forma que la carga total es cero.

Campo de un Hilo Finito Cargado

Dividimos el hilo en elementos de longitud dr, con carga λdr, que generarán en el punto P un campo análogo al de una carga puntual. Como todos los elementos de carga originan en P campos con la misma dirección y sentido, podemos sumar los módulos de todos ellos para obtener el módulo del campo resultante.

Trabajo Externo (W_ext)

El trabajo realizado en contra de las fuerzas del campo para llevar una carga 1 desde un punto A hasta otro B es independiente del camino y vale W_ext.