Presión y variación en fluidos: principios de Pascal e hidrostatia para líquidos y atmósfera

Presión en un punto

Definición. Está definida como la presión en forma de una fuerza de compresión normal infinitesimal dividida entre el área también infinitesimal sobre la cual actúa.

¿Varia la presión en un punto dado conforme la presión normal al área cambia de dirección? El principio de Pascal dice:

“La presión ejercida sobre un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones en todos los puntos del fluido”.

Al tomar el límite a medida que el elemento se reduce a un punto, Δx → 0 y Δy → 0, los términos correspondientes se igualan; por lo tanto, en un punto se cumple:

p_x = p_y = p_z = p

La presión actúa igual en todas las direcciones en un punto dado tanto en un fluido estacionario como en un fluido en movimiento sin esfuerzo cortante.

Variación de presión

Para determinar la variación de presión se considera un elemento infinitesimal y se aplica la segunda ley de Newton:

ΣF = m · a

Si se consideran las componentes del equilibrio para un elemento de volumen dV = dx·dy·dz, las fuerzas debidas a presiones en las direcciones x, y, z y la fuerza de volumen (peso) llevan a las expresiones diferenciales:

• En x: −∂p/∂x = ρ a_x
• En y: −∂p/∂y = ρ a_y
• En z: −∂p/∂z = ρ a_z + ρ g_z (si se incluye gravedad en la dirección z)

En forma general para un fluido en movimiento sin considerar esfuerzos viscosos, se obtiene que el gradiente de presión está relacionado con la aceleración y la densidad: ∇p = −ρ a (con signo según la convención de ejes y fuerzas).

Fluidos en reposo

Un fluido en reposo es aquel que no está sometido a ninguna aceleración (a = 0).

Por tanto:

• ∂p/∂x = 0
• ∂p/∂y = 0
• ∂p/∂z = −ρ g

Esto implica que la variación de presión se da solamente en la dirección vertical (plano z) cuando existe el campo gravitatorio.

La relación es negativa y, por lo tanto, la presión es inversamente proporcional con la coordenada z (considerando z hacia arriba):

∂p/∂z = −ρ g

Fluidos en reposo: presiones en líquidos en reposo

Integrando la ecuación diferencial anterior (suponiendo densidad ρ constante), se obtiene:

dp = −ρ g dz

Integrando entre dos alturas z0 y z:

p(z) − p(z0) = −ρ g (z − z0)

Si consideramos que la profundidad h = z0 − z (es decir, la distancia por debajo de la superficie), la expresión habitual es:

p = p_surface + ρ g h

De modo que la presión se incrementa con la profundidad. La parte ρ g h es considerada como carga hidrostática.

Fluidos en reposo: presiones en la atmósfera

En la atmósfera la densidad depende de la altura: ρ = ρ(z).

Hay que considerar la ecuación de estado para un gas ideal (por unidad de masa o con la constante de los gases especifica):

p = ρ R T (donde R es la constante específica del gas y T la temperatura absoluta).

Por tanto, la ecuación de equilibrio vertical dp/dz = −ρ g se puede escribir como:

dp/dz = −(p / (R T)) g

Si la temperatura T es constante con la altura (aproximación isoterma válida en capas como ciertas capas de la estratosfera), separando variables e integrando:

dp/p = − (g / (R T)) dz

Integrando entre z0 y z:

ln(p(z)/p(z0)) = − (g / (R T)) (z − z0)

Por lo tanto:

p(z) = p(z0) · exp(− (g / (R T)) (z − z0))

De forma análoga la densidad decae exponencialmente cuando la temperatura es constante.

Considerando que en la estratosfera la temperatura puede aproximarse constante en ciertos tramos, se obtiene la expresión exponencial anterior:

p(z) = p0 · exp(− (g / (R T)) (z − z0))

Observaciones finales

• En líquidos incompresibles de densidad constante se usa p = p_surface + ρ g h.
• En gases la variación con la altura depende de la dependencia de la temperatura; en el caso isoterma la solución es exponencial.
• El principio de Pascal garantiza que la presión en un punto es escalar: misma intensidad en todas las direcciones en ausencia de esfuerzos cortantes.