Prediccions en Sèries Temporals: Anàlisi i Mètodes

Prediccions en Sèries Temporals

Identificació de la Constant d'Allisament

Aquí tens tres prediccions fetes per a una mateixa sèrie amb el mateix mètode de predicció que només es diferencien pel valor de la constant d’allisament emprada a l’hora de fer-les. En concret, les tres constants emprades són: α₁ = 0,1, α₂ = 0,4 i α₃ = 0,9.

Identifica quina predicció es correspon amb cada constant tot raonant-ne el perquè.

A mesura que augmentem la constant d’allisament (alpha) menys allisem i més ens cenyim a la sèrie original, a les seves oscil·lacions.

Per tant, la primera predicció es correspon a una constant d’allisament de 0,1; la segona, 0,4; i la tercera, 0,9.

-> AES: Y_t⁽¹⁾

Avaluació de la Millor Predicció

Quina de les tres creus que podria ser la millor predicció? Argumenta-ho.

En principi, la millor predicció és la que més s’acosta a la sèrie original, per tant, aquí podria ser la que millor conserva les oscil·lacions de la sèrie original, o sigui, la tercera predicció. Ara bé, per confirmar-ho caldria calcular els errors de cadascuna de les tres prediccions fetes i ens quedaríem amb aquella que ens proporcionés els errors més baixos. No sabem si pot ser la tercera predicció perquè dependrà dels errors comesos.

Interpretació de l'Índex d'Variació Estacional (IVE)

Donada una sèrie temporal de periodicitat trimestral, amb dades entre el primer trimestre del 2000 i el quart trimestre del 2005, s’ha analitzat l’esmentada sèrie mitjançant el mètode de descomposició, tot obtenint-se els següents resultats:

Constant 0,5 Pendent -2 IVE/TRIMESTRE: 2 -0,5 -1,5 1

Interpreta l’IVE d’aquesta sèrie.

• Els primers trimestres la sèrie ha augmentat, de mitjana, dos punts respecte de la tendència.
• La sèrie, de mitjana, ha disminuït els segons trimestres 0,5 unitats respecte de la tendència.
• La sèrie, de mitjana, ha disminuït els tercers trimestres 1,5 unitats respecte de la tendència.
• La sèrie, de mitjana, ha augmentat els quarts trimestres 1 punt respecte de la tendència.

Prediccions per a l'Any 2006

Quines serien les prediccions d’aquesta sèrie pels quatre trimestres corresponents a l’any 2006?

2000.I --- 2005.IV : 6 anys = 24 trimestres, per tant el proper trimestre a predir serà el que fa 25.

Ŷ_T(m) = [B₀ + B₁(T)*t]*S_i(T-s) -> ÉS MULTIPLICATIU

Ŷ_T(2006.I) = [0,5 – 2*25]*2 = -99

Ŷ_T(2006.II) = [0,5 – 2*26]*(-0,5) = 25,75

Ŷ_T(2006.III) = [0,5 – 2*27]*(-1,5) = 80,25

Ŷ_T(2006.IV) = [0,5 – 2*28]*1 = -55,5

Prediccions amb Dobles Mitjanes Mòbils

Per a obtenir prediccions sobre l'evolució de les vendes de l’empresa de material informàtic XIPSA s'ha emprat el mètode de les dobles mitjanes mòbils amb K = 4. Sabent que per l'any 2005 (darrer període mostral) la mitjana mòbil ha estat de 121 i la doble mitjana mòbil de 135, a) Calcula les prediccions pels anys 2006, 2007 i 2008.

T₀₅ = 2MM₀₅ – MM’₀₅ = 2*121-135=107

B₀₅= 2/(4-1)*(MM₀₅ – MM’₀₅)= 2/3*(121-135)= -9,33

Y_T = Y_T + B_T * m

Y₀₆=107 - 9,33=97,67

Y₀₇=107 - 9,33*2=88,34

Y₀₈=107 - 9,33*3=79,01

Avaluació de les Prediccions

Posteriorment s'ha sabut que les vendes dels anys 2006, 2007 i 2008 han estat de 100, 95 i 70 respectivament. A partir d’això, diries que les prediccions són bones o dolentes? Raona la teva resposta.

EPAM = [|100-97,67|/100 + |95-88,34|/95 + |70-79,01|/70] /3 = 0,074 = 7,4% > 5%

Per tant, la predicció és dolenta.

Taxa de Creixement de les Vendes

Calcula la taxa de creixement de les vendes de XIPSA del 2008 respecte al 2007.

Creixement(08-07)= (70-95)/95 = -0,2631 = -26,31%

Fort decreixement.

Taxa de Creixement Mitjana Anual Acumulada

Sabent que l’any 2005 les vendes de XIPSA foren de 98, quina és la taxa de creixement mitjana anual acumulada entre el 2005 i el 2008?

[(Y_t/Y_t-n)^1/n -1] *100= [(Y₀₈/Y₀₅)^1/3 -1]*100 = [(70/98)^1/3 -1]*100= -10,6%

Mireu que és una taxa de creixement composta, no pas una mitjana de creixements.

Anàlisi de la Sèrie d'Inversió en Formació

Després d’analitzar la sèrie d’inversió en formació de l’empresa de biotecnologia BIOSA, hem vist que aquesta segueix el següent model: Y_t = 1 + u_t + 0,8u_t-1 + 0,5u_t-2. Dibuixa uns possibles correlogrames que puguin caracteritzar la sèrie.

MA(2) -> θ₁ = -0,8 i θ₂ = -0,5

Y_t= 1+u_t+0,8u_t-1 +0,5u_t-2 θ₁<0 θ₂<0

Càlcul dels Retards de la FAS i la FAP

A partir dels valors de les covariàncies s₀=4, s₁=0,5, s₂=0,25, s₃=0,15, dóna un valor concret als dos primers retards de la FAS i als dos primers de la FAP.

P₁= s₁/s₀=0,5/4=0,125, o₁₁=p₁=0,125

P₂= s₂/s₀=0,25/4=0,0625, o₂₂= (P₂ - P₁²) / (1 - P₁²) = (0,0625 - 0,125²) / (1 - 0,125²) = 0,047

Informació dels Retards de la FAS i la FAP

Quina informació creus que recull el primer retard de la FAS? I el primer de la FAP? Quina diferència hi ha entre ambdós? Per què?

El primer retard de la FAS recull la relació que hi ha entre dos valors de la sèrie temporal separats entre si un període. El primer retard de la FAP recull exactament el mateix que el primer de la FAS atès que la FAP, en general, recull les relacions directes entre dos valors, és a dir, sense la influència dels valors intermitjos. En aquest cas, com que es tracta del primer retard, no hi ha retards intermitjos a considerar, i és precisament per aquest motiu pel qual el primer retard de la FAS i de la FAP coincideixen.

Validació d'un Model SARIMA

Donada una sèrie temporal, s’ha ajustat el procés estocàstic SARIMA(1,1,1)x(2,2,2)₄. Després de validar el model hem obtingut els següents correlogrames dels residus: Segons això:

Es pot considerar que el model ajustat és adient o s’hauria de reformular? Raona la teva resposta.

Els residus d’aquest model analitzat no es comporten com un soroll blanc, sinó que segueixen un esquema concret, en particular un model MA(1) a la part regular. Per tant, el que hauríem de fer és treure el MA(1) que evidentment hem oblidat d’incloure al model i incloure’l, tot reespecificant el model a estimar com un:

SARIMA(1,1,2)x(2,2,2)₄

Anàlisi d'un Model per a les Despeses en Publicitat

A partir de la informació que hi ha al següent quadre i que hem obtingut després d’estimar un model per les despeses en publicitat de l’empresa de begudes SUCSSA, contesta les preguntes:

Nombre de diferències regulars: 1

Nombre de diferències estacionals: 1

Variables in the Model:

Box-Pierce: 35,4714803 Prob: 0,01773225

Quin model s’ha estimat? Fes servir l’operador de retards per escriure’l.

(1+0,47L¹² + 0,32L²⁴)(1-0,48L)(1-L¹²)(1-L) Y_t = -2,8125 + (1 – 0,9985L) u_t

Validaries el model estimat? Justifica la teva resposta emprant totes les fases possibles de l’etapa de validació. En el cas que no validis el model, escriu el nou model ARIMA que procediries a estimar.

1. Coeficients significatius: a un 5% de significació, veiem que el coeficient corresponent al AR(2) estacional no és significatiu (ho seria al 10%) perquè l’estadístic de la t associat és inferior a 2. En conseqüència, l’hauríem de treure del model. La resta de coeficients són tots significatius.

2. Estacionarietat i invertibilitat: Els models MA sempre són estacionaris i els AR sempre són invertibles.

   • Per tant, mirarem si el AR1 és estacionari. Per ser-ho, el coeficient que l’acompanya ha de ser inferior a 1, cosa que compleix.
   • Mirarem si el MA1 és invertible. Per ser-ho, el coeficient ha de ser inferior a 1, cosa que NO passa perquè 0,9985 es pot considerar 1. Això ens indica que hem sobrediferenciat el model a nivell regular i per tant l’hauríem de reespecificar sense la diferència a la part regular.
   • Finalment comprovarem que la part autoregressiva estacional és estacionària. Per ser-ho ha de complir tres condicions, que sí que compleix.

   o₁ + o₂ <1 -> 0,47 + 0,32<1

   o₂ – o₁ <1 -> 0,47 – 0,32<1

   |o₂|<1 -> 0,32 <1

   Com que abans hem dit que l’AR(24) el trèiem perquè no era significatiu aquí també podríeu haver dit que només comprovàveu que el AR(12) fos estacionari, i com que el valor del coeficient és inferior a 1 sí que és estacionari.

3. Els residus es comporten com un soroll blanc: com que no tenim la FAS i la FAP, mirarem el contrast de Box-Pierce. Clarament té una probabilitat inferior al 5% i per tant rebutgem la hipòtesi nul·la de no correlació dels residus, o sigui que estan correlacionats i, per tant, el model no el podem validar.

El model que estimaríem seria: SARIMA (1,0,0)x(1,1,0)

Identificació del Procés Estocàstic Generador de la Sèrie

En primer lloc, analitzarem si la sèrie és estacionària (a la part ordinària).

A partir dels gràfics de la FAS i de la FAP de la sèrie original observem que la part regular no és estacionària, doncs la FAS decreix molt lentament i el primer retard de la FAP és molt significatiu i proper a la unitat. Hem de prendre, doncs, primeres diferències de la part regular.

Un cop feta aquesta diferenciació, els gràfics de la FAS i de la FAP ens mostren que no hi ha problemes de no estacionarietat a la part regular però no així a la part estacional, doncs els retards de la FAS decreixen molt lentament en aquesta part estacional. Conseqüentment farem el mateix que abans però a la part estacional, la diferenciarem per tal de convertir-la en també en estacionària.

Ara, a partir de la FAS i la FAP de la sèrie diferenciada a nivell regular i estacional un cop (cadascun) podem comprovar que la sèrie és regular en totes dues parts i per tant podem ja passar a identificar quin és el model ARMA que l’ha poguda generar.

A partir dels 5, 6 primers coeficients de la FAS i de la FAP, s’observa que la FAS corresponent a la part regular és nul·la, i el mateix passa amb la FAP. Per tant, la part regular és un soroll blanc. Per la seva banda, analitzant el component estacional, només ens hem de fixar amb els retards corresponent a les estacions, en aquest cas només cal que ens fixem amb els retards que són múltiples de 12 (12, 24, 36, 48...). D’aquesta manera comprovem que no tenim cap retard significatiu ni a la FAS ni tampoc a la FAP, fet pel qual podem dir que la part regular també ha estat generada per un soroll blanc.

D’aquesta manera, el model tindria la següent expressió:

SARIMA(0,1,0)(0,1,0)₁₂, un camí aleatori a cada part.

O bé, utilitzant l’operador de retards:

(1-L)(1-L¹²)Y_t = S + u_t