Predicció de Sèries Temporals: Metodologia Clàssica i Box-Jenkins

Predicció de Sèries Temporals

Metodologia Clàssica

Predicció del nombre de viatgers a Espanya (setembre 2004 - agost 2005):

1. Anàlisi de la sèrie: Analitzar la gràfica de viatgers a Espanya (gener 1996 - agost 2004) per identificar tendència i estacionalitat. Realitzar els contrastos de Daniel (tendència) i Kruskal-Wallis (estacionalitat). A priori, la sèrie sembla tenir una tendència creixent i component estacional (tipus 4), suggerint el mètode de descomposició o l'allisat exponencial de Holt-Winters.
2. Comparació de mètodes: Definir períodes mostral (gener 1996 - agost 2003) i extra-mostral (setembre 2003 - agost 2004). Realitzar prediccions amb els dos mètodes i calcular l'Error Quadràtic Mitjà (EQM) i l'Error Absolut Mitjà (EAM) per al període extra-mostral. Escollir el mètode amb menor EQM i EAM. Calcular l'Error Percentual Absolut Mitjà (EPAM) per al mètode escollit.
3. Prediccions ex-ante: Realitzar prediccions per al període setembre 2004 - agost 2005 amb el mètode escollit, utilitzant totes les dades disponibles.

Allisat Exponencial Simple (AES):

En l'AES, les prediccions s'obtenen mitjançant l'equació d'actualització o el model amb mecanisme de correcció de l'error (MQE). Un valor gran d'α implica:

• Major importància a l'error de predicció.
• Més importància als valors propers al període de predicció.

Exemple amb dades de facturació

Facturació de MITJANES, S.A. (1995-2004): Yt 90-97-108-107-112-126-128-135-144-146

Predicció per a 2003 i 2004:

• Mitjanes mòbils (longitud 3): (135+128+126) / 3 = 129.67 (per a ambdós anys).
• Allisat Exponencial de Holt (α=0.4, γ=0.7, T(2000)=121.26, B=8.16): 143.28; 150.59

Comparació de mètodes:

• EAM (Mitjanes Mòbils): 15.33
• EAM (AEH): 2.65
• EQM (Mitjanes Mòbils): 236
• EQM (AEH): 10.79
• EPAM (AEH): 1.82% (bona predicció)

L'AEH és més adequat.

Autocorrelació Simple i Parcial

L'autocorrelació simple d'ordre j (ρ_j) és la correlació entre dues variables aleatòries separades per j períodes. La Funció d'Autocorrelació Simple (FAS) pot detectar relacions indirectes. L'autocorrelació parcial d'ordre j (φ_jj) mostra la correlació entre Y_t i Y_t-j ajustada per l'efecte dels retards intermitjos. La Funció d'Autocorrelació Parcial (FAP) evita aquest problema.

Metodologia Box-Jenkins

Problema d'autocorrelació

Si u_t està autocorrelacionat, això suposa un problema en Box-Jenkins, ja que el terme d'error no es comporta com un soroll blanc. Per resoldre-ho, s'analitzen les FASR i FAPR dels residus i la seva estructura s'afegeix al model.

Exemple de model ARIMA

Model identificat: ARIMA (1, 1, 0) x (2, 1, 0)₁₂

Polinomi de retards: (1-L)(1-L¹²)(1-0.48L)(1-0.47L¹²-0.32L²⁴)Y_t = u_t

Validació del model:

• Significació dels coeficients: El segon paràmetre autoregressiu estacional no és significatiu. La resta sí.
• Estacionarietat i invertibilitat: Es compleixen.
• Residus com a soroll blanc: El contrast de Box-Pierce rebutja la hipòtesi de no correlació. S'ha omès algun paràmetre.

El model no es valida per l'incompliment de la primera i tercera etapa.