Potencias, raíces y logaritmos: fórmulas, propiedades y ejemplos resueltos

POTENCIAS (File 4)

• a^-n = 1 / aⁿ
• a^m/n = ⁿ√(a^m)
• a^m·aⁿ = a^m+n
• (a^m)ⁿ = a^m·n
• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• Notación científica: a·10^b (1 ≤ a < 10)

Si te preguntan...

❓ Simplificar potencias complejas

→ Regla de oro: descompón todo en factores primos (2, 3, 5, ...).

Ejemplo: (3³·12²·(6²·2³)³)/(6·9^-1·18·8²)

1. 12 = 2²·3, 6 = 2·3, 9 = 3², 18 = 2·3², 8 = 2³.
2. Aplica las propiedades de las potencias y realiza las cuentas.
3. Resultado: 3⁸·2⁴.

❓ Crecimiento exponencial: "Se reduce a la mitad cada X tiempo"

→ Fórmula mágica: Final = Inicial × (1/2)^periodos.

Ejemplo: 2¹⁵ ratas, 8 semanas → 2¹⁵ × 2^-8 = 2⁷ = 128.

❓ La Hidra: "Cada cabeza genera 2 nuevas"

→ Tabla rápida: Día d → Cabezas = Inicial × 2^d.

Ejemplo: 4 cabezas → Día 10: 4 × 2¹⁰ = 4096.

❓ Notación científica

• Multiplicar: multiplica coeficientes, suma exponentes.
• Dividir: divide coeficientes, resta exponentes.
• Ordenar: compara exponentes primero.

Propiedades de radicales

Raíz enésima de (a^m) = a^m/n   [CONVERTIR A POTENCIA]

√(a·b) = √a × √b

√(a/b) = √a / √b

√(√a) = raíz cuarta de a   [multiplicación de índices: 2 × 2 = 4]

Si te preguntan...

❓ Convierte a radical y simplifica (ejercicio típico)

Ejemplo: (√4 × √5 ÷ √10)^1/3

1. Simplifica: √4 = 2.
2. (2 × √5) ÷ √10 = √(4·5 ÷ 10) = √2.
3. (√2)^1/3 = 2^1/6 = raíz sexta de 2 → este es el resultado.

❓ Anidamiento de raíces (lo "complicado" que suele caer)

Ejemplo: √(√(√3)) = ?

= 3^{1/2 × 1/2 × 1/2} = 3^1/8 = raíz octava de 3.

Ejemplo: raíz cúbica de (raíz cuadrada de 5) = ?

= 5^{1/2 × 1/3} = 5^1/6 = raíz sexta de 5.

❓ Expresa como una sola raíz

Ejemplo: raíz cuarta de 3 × raíz cúbica de 3 = ?

= 3^1/4 × 3^1/3 = 3^7/12 = raíz doceava de (3⁷).

❓ Simplifica raíces cuadradas

Ejemplo: raíz cuadrada de 12 = 2 × raíz cuadrada de 3

- 12 = 4 × 3 → √12 = √4 × √3 = 2 × √3.

CHULETA 1: LOGARITMOS - VERSIÓN BÁSICA

• log_ab = c ⇔ a^c = b   [definición fundamental]
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n · log a
• log_ab = (log b) / (log a)   [cambio de base]

```

Si te preguntan...

❓ Hallar log₂8, log₂(1/32), log 0.001

→ Método directo: ¿a qué potencia elevo la base?

• log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
• log₂(1/32) = -5 porque 2^-5 = 1/32.
• log 0.001 = -3 porque 10^-3 = 0.001.

❓ Logaritmos con fracciones (el único tipo difícil que suele caer)

Ejemplo: log₃(1/9) = ?

- 3^? = 1/9 → 3^-2 = 1/9 → Resultado: -2.

Ejemplo: log₂(1/4) = ?

- 2^? = 1/4 → 2^-2 = 1/4 → Resultado: -2.

Ejemplo: log₅(1/125) = ?

- 5^? = 1/125 → 5^-3 = 1/125 → Resultado: -3.

❓ Propiedades con fracciones (raro pero puede caer)

Ejemplo: log(4/5) + log(5/10) = ?

1. = log 4 − log 5 + log 5 − log 10
2. = log 4 − log 10
3. = log(4/10) = log(0.4)

POTENCIAS (30% del examen)

1. Ratas: 2¹⁵ ratas, ÷2 cada semana, 8 semanas.
   - 2¹⁵ × 2^-8 = 2⁷ = 128.
2. Hidra: 4 cabezas, ×2 cada día, día 10.
   - 4 × 2¹⁰ = 4096 cabezas.
3. Simplificar: (3³·12²·(6²·2³)³)/(6·9^-1·18·8²).
   - 12 = 2²·3, 6 = 2·3, 9 = 3², 18 = 2·3², 8 = 2³.
   - Resultado = 3⁸·2⁴.
4. Notación científica: ordenar 4.68·10², 4.40·10¹, 1.60·10².
   - → 4.40·10¹ < 1.60·10² < 4.68·10².

RAÍCES (25% del examen)

1. Conversión: (√4·√5/√10)^1/3.
   - = (2·√5/√10)^1/3 = (√2)^1/3 = ⁶√2.
2. Anidamiento: √(√(√3)) = ⁸√3.
   - índices multiplicados: 2 × 2 × 2 = 8.
3. Cubo 2 m: diagonal espacial = 2√3 m.
   - diagonal de la cara = 2√2 → espacial = √(8 + 4) = 2√3.
4. Viento: V = √(h / 0.026), h = 35 pies.
   - V = √(35 / 0.026) = √1346 ≈ 36.7 nudos.