Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio 3D
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1) Posición Relativa de 2 rectas en el espacio
Matrices A y A*
Paralelas
Secantes
Coincidentes
Se cruzan
Rango A {Ur, Us}
1
2
1
2
Rango A* {Ur,Us,Pr,Ps}
2
2
1
3
2) Dependencia o independencia de vectores
A) Determinante (u, v, w) no es 0 => son linealmente dependientes
B) Determinante (u, v, w) =0 => son Linealmente independientes
3) Posición de 2 rectas como intersección de 2 Planos
r: { Ax+By+Cz+D=0s: { A´´x+B´´y+C´´z+D´´
{ A´x+B´y+C´z+D´=0{ A´´´x+B´´´y+C´´´z+D´´´=0
Esto forma un sistema de 4 ecuaciones Y 3 incógnitas y si tomamos las matrices A y A* , puede ocurrir:
Rango A*=4
SI
SE CRUZAN
Rango A=3
Rango A*=3
SCD
SE CORTAN EN UN PUNTO
Rango A=2
Rango A*=3
SI
PARALELAS
Rango A=2
Rango A*=2
SCD
COINCIDENTES
4) Posición Relativa Recta y Plano
Una recta y un plano pueden ocupar 3 Posiciones relativas: secantes, paralelas y la recta está contenida en el plano
(A)
Aplicando producto
Escalar
Recta r: vector director (dr) y punto (Pr)Plano .-. : vector Normal a .-. (pi) N.-.
Si calculamos el producto escalar:
Dr
. N.-. No es igual a 0 -> Recta y plano son secantes (se cortan en un punto)
Dr . N.-. =0 -> Pr E .-. -> Recta y plano son paralelos
-> Pr no pertenece a .-. -> Recta contenida en el plano
(B)
Aplicando Rangos
r: {Ax+By+Cz+D=0Plano .-. : A´´x+B´´y+C´´z+D´´=0
{A´x+B´y+C´z+D´=0
FORMAMOS A Y A*
Rango A= Rango A*= 3 -> RECTA Y PLANO SON SECANTES
Rango A= 2 y Rango A*= 3 -> RECTA Y PLANO SON PARALELOS
Rango A=Rango A*= 2 -> RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
5) Posición Relativa de 2 planos
2 Planos pueden ser secantes, coincidentes y paralelos
Plano 1: Ax+By+Cz+D=0
Plano 2: A´x+B´y+C´z+D´=0
COINCIDENTES
SECANTES
PARALELOS
(A) POR RANGOS
Rango A= Rango A*=1
Rango A= Rango A*=2
Rango A=1
Rango A*=2
(B) PROPORCIONALIDAD COEFICIENTES
A/A´ =B/B´=C/C´=D/D´
A/A´ distinto de B/B´
A/A´=B/B´=C/C´ distinto de D/D´
6) Dos rectas son coplanarias cuando:
Están En el mismo plano-> sus vectores directores son linealmente Independientes-> cuando las rectas se cortan -> su determinante=0
7) Posición Relativa de 3 planos
Plano 1: Ax+By+Cz+D=0
Plano 2: A´x+B´y+C´z+D´=0
Plano 3: A´´x+B´´y+C´´z+D´´=0
FORMAMOS LAS MATRICES A Y A*
Rango A=3
Rango A*=3
Se cortan en un punto
Rango A=2
Rango A*= 3
Dos planos son paralelos y el otro los Cortan
Estudiar los planos 2 a 2
Rango A= 2
Rango A*=2
Se cortan en una recta
Rango A= 1
Rango A*=2
Los 3 planos son paralelos
Estudiar los planos 2 a 2
Rango A=1
Rango A*=1
Los 3 planos son coincidentes
Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema por Cramer o Gauss
Los planos se cortan 2 a 2 en diferentes rectas
Dos planos son coincidentes y el otro plano es paralelo