Polígonos Regulares y Estrellados: Propiedades, Elementos y Ejemplos

¿Qué es un polígono regular?

En geometría, se llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares más conocidos, los de tres y cuatro lados, se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, etc.). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Elementos de un polígono regular

Todo polígono regular cuenta con los siguientes elementos:

• Lado (L): Cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice (V): El punto de unión de dos lados consecutivos.
• Centro (C): El punto central equidistante de todos los vértices.
• Radio (r): El segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema (a): Segmento perpendicular a un lado, trazado desde el centro del polígono.
• Diagonal (d): Segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro (P): Es la suma de la medida de su contorno (la suma de todos sus lados).
• Semiperímetro (SP): Es la mitad del perímetro.
• Sagita (S): Parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema (a) más la sagita (S) es igual al radio (r).

Propiedades de un polígono regular

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados tienen la misma longitud.
• Los polígonos regulares son equiangulares, ya que todos sus ángulos interiores miden lo mismo.
• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia, lo que significa que todos sus vértices tocan el borde de la misma.

Polígonos estrellados

Un polígono estrellado se forma al unir los vértices de un polígono regular de forma no consecutiva. Si se une cada vértice con el siguiente, dando una sola vuelta, se obtiene un polígono convexo. En cambio, si la unión de los vértices se realiza de forma que el polígono se cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado.

Para saber si de un polígono regular se puede derivar uno estrellado, se deben buscar los números enteros que sean menores que la mitad del número de lados y que, además, sean primos relativos (coprimos) con dicho número. El resultado indicará cuántos polígonos estrellados se pueden formar y cómo unir los vértices.

Ejemplo: construcción de un polígono estrellado

Para un pentágono (5 lados), los números enteros menores que su mitad (2.5) son el 1 y el 2. De ellos, solo el 2 es primo relativo con 5. Por lo tanto, el pentágono tiene un único polígono estrellado, que se obtiene al unir los vértices de 2 en 2.

Pentágono regular estrellado (Pentagrama)

El lema de la Escuela Pitagórica era «todo es número» y su emblema, el pentagrama o polígono regular estrellado. En esta figura aparece el famoso número áureo. Una de sus curiosidades es que, si se miden los ángulos de cada una de sus cinco puntas, la suma de todos ellos es siempre 180º.

Falsos polígonos estrellados

Se denomina falso polígono estrellado a aquel que resulta de la superposición de varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo. Un ejemplo clásico es el falso estrellado del hexágono, que se compone de dos triángulos equiláteros girados 60º entre sí, formando la conocida Estrella de David.

Heptágonos regulares estrellados

Para un heptágono (7 lados), podemos construir dos polígonos estrellados distintos: uno uniendo los vértices de 2 en 2 y otro, de 3 en 3.

Octógono regular estrellado

En el caso del octógono (8 lados), se obtiene un polígono estrellado uniendo los vértices de 3 en 3. Si se unieran de 2 en 2, el resultado sería un falso estrellado compuesto por dos cuadrados superpuestos.