Plano cartesiano: lugares geométricos, distancias, perímetros y áreas explicados

Conceptos básicos

1. ¿Qué entiendes por lugar geométrico?

Respuesta: Conjunto de puntos para los que se cumplen las mismas propiedades geométricas. Se puede expresar de forma verbal, mediante una ecuación o de forma gráfica.

2. ¿Qué es una pareja ordenada?

Respuesta: Es una forma de identificar un punto en el plano mediante un par (x, y), donde x es la abscisa y y la ordenada.

Ejercicios y explicaciones

Ejercicio 1. Uso del plano cartesiano: características

Utilizando un plano cartesiano, identificar sus características considerando:

• a) Cuadrantes: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).
• b) Signo de las parejas ordenadas: según el cuadrante donde se encuentren.

Ejercicio 2. Obtener el lugar geométrico según la condición indicada

a) Ecuación: y = 2x - 4

Cálculos:

• y(–2) = 2(–2) – 4 = –4 – 4 = –8
• y(–1) = 2(–1) – 4 = –2 – 4 = –6
• y(0) = 2(0) – 4 = –4
• y(1) = 2(1) – 4 = 2 – 4 = –2
• y(2) = 2(2) – 4 = 4 – 4 = 0

Ejercicio 3. Recta que pasa por dos puntos

La recta que pasa por A(−2, −3) y B(5, −4).

Ejercicio 4. Encontrar los puntos que satisfacen la ecuación

a) x² + y² = 9

Se trata de una circunferencia de radio 3 centrada en el origen. Los puntos para algunos valores de x son:

b) y = 9 − x²

Para valores enteros de x, calcular y:

• Si x = −3: y = 9 − (−3)² = 9 − 9 = 0
• Si x = −2: y = 9 − 4 = 5
• Si x = −1: y = 9 − 1 = 8
• Si x = 0: y = 9
• Si x = 1: y = 8
• Si x = 2: y = 5
• Si x = 3: y = 0

Cómo sacar la distancia entre dos puntos

Fórmula:

D_AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Ejemplos:

1) A(−5, 3) y B(2, −4)

Cálculo:

• Δx = 2 − (−5) = 7
• Δy = −4 − 3 = −7
• D_AB = √(7² + (−7)²) = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.8995

2) A(−5, 2) y B(3, 0)

Cálculo:

• Δx = 3 − (−5) = 8
• Δy = 0 − 2 = −2
• D = √(8² + (−2)²) = √(64 + 4) = √68 ≈ 8.2462

Cómo sacar el perímetro

Ejemplo: Calcular el perímetro del polígono con vértices P(4,7), Q(2,1), R(3,−3), S(−3,−6), T(−1,−2) y U(−6,−2). Suponemos que el orden es P → Q → R → S → T → U → P.

Cálculos de las distancias entre vértices:

• DPQ = distancia P(4,7) a Q(2,1): Δx = 2 − 4 = −2, Δy = 1 − 7 = −6 → √(4 + 36) = √40 ≈ 6.3249
• DQR = distancia Q(2,1) a R(3,−3): Δx = 1, Δy = −4 → √(1 + 16) = √17 ≈ 4.1231
• DRS = distancia R(3,−3) a S(−3,−6): Δx = −6, Δy = −3 → √(36 + 9) = √45 ≈ 6.7082
• DST = distancia S(−3,−6) a T(−1,−2): Δx = 2, Δy = 4 → √(4 + 16) = √20 ≈ 4.4721
• DTU = distancia T(−1,−2) a U(−6,−2): Δx = −5, Δy = 0 → √(25 + 0) = 5.0000
• DUP = distancia U(−6,−2) a P(4,7): Δx = 10, Δy = 9 → √(100 + 81) = √181 ≈ 13.4536

Perímetro ≈ 6.3249 + 4.1231 + 6.7082 + 4.4721 + 5.0000 + 13.4536 ≈ 39.0819

Determinar las coordenadas de un punto que equidista

El punto D que está a la misma distancia de A, B y C

Planteamiento: se buscará un punto D(x, y) tal que la distancia a A(1,2) sea igual a la distancia a C(−3, −1) y, además, la distancia a B(3,1) sea igual a la distancia a C(−3, −1).

Igualando las distancias entre A y C:

(x − 1)² + (y − 2)² = (x + 3)² + (y + 1)²

Al expandir y simplificar se obtiene:

−8x − 6y = 5

Igualando las distancias entre B y C:

(x − 3)² + (y − 1)² = (x + 3)² + (y + 1)²

Al expandir y simplificar se obtiene:

−12x − 4y = 0 → 3x + y = 0

Resolvemos el sistema formado por:

• −8x − 6y = 5
• 3x + y = 0 → y = −3x

Sustituyendo y = −3x en la primera ecuación:

−8x − 6(−3x) = 5 → −8x + 18x = 5 → 10x = 5 → x = 0.5

Entonces y = −3(0.5) = −1.5

Resultado: D = (0.5, −1.5)

Cómo sacar el punto medio

Fórmula: Punto medio PM_AB = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Ejemplo: Ubica el punto medio de A(−3, −2) y B(5, 4).

PM_AB = ((−3 + 5)/2, (−2 + 4)/2) = (2/2, 2/2) = (1, 1)

Cómo encontrar el valor de x a partir de distancias

Se parte de una ecuación de distancia. Por ejemplo, si tenemos:

(x + 9)² + (8 − 4)² = 225

Sustituimos y simplificamos:

(x + 9)² + 16 = 225 → (x + 9)² = 209

Luego:

x + 9 = ±√209 → x = −9 ± √209

Aproximando: √209 ≈ 14.4568 → x ≈ −9 + 14.4568 ≈ 5.4568 o x ≈ −9 − 14.4568 ≈ −23.4568

Sacar el área de un polígono (método de la casilla / shoelace)

Ejemplo: A(−3, −1), B(3, 1), C(0, 5).

Fórmula: A = 1/2 |Σ(x_i y_i+1 − x_i+1 y_i)|

Lista de coordenadas cerrada (volvemos al primer punto): (−3, −1), (3, 1), (0, 5), (−3, −1)

Sumando los productos correspondientes: Suma = (−3 + 15 + 0) = 12. Resta = (−3 + 0 − 15) = −18 → Diferencia = 12 − (−18) = 30.

Área = 1/2 · |30| = 15. (Nota: comprueba el orden y los signos al aplicar el método. Si se usa otra orientación puede salir 24/2 = 12 si la disposición de los puntos es diferente; en este ejemplo, con el orden presentado el resultado final es 15.)

Observaciones y recomendaciones

• Revisa siempre los signos y la correcta separación de coordenadas con comas: por ejemplo, escribir (3, −3) en lugar de (3-3) o (5-4).
• Para evitar errores aritméticos, realiza las operaciones con calma y, si es posible, verifica con calculadora las raíces y sumas finales.
• Cuando uses la fórmula de distancia, trabaja con los cuadrados antes de sacar la raíz.

Si deseas, puedo: volver a resolver paso a paso alguno de los ejercicios mostrando todas las operaciones detalladas, o preparar ejercicios adicionales con soluciones para practicar.