Optimización de la Rentabilidad de Inversiones con Funciones

Rentabilidad de un Plan de Inversión

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) se mide en miles de euros.

a) Dado que la función se expresa en miles de euros, si x = 100, la rentabilidad se calcula como:

R(100) = -0.001(100)² + 0.4(100) + 3.5 = 33.5, lo que equivale a 33500 €.

b) y c) La máxima rentabilidad se obtiene en el vértice de la parábola, cuya abscisa se encuentra resolviendo R'(x) = 0. Si R(x) = -0.001x² + 0.4x + 3.5, entonces R'(x) = -0.002x + 0.4. Igualando a cero, -0.002x + 0.4 = 0, obtenemos x = 0.4 / 0.002 = 200.

Sustituyendo x = 10 y x = 200 en la función de rentabilidad:

• R(10) = -0.001(10)² + 0.4(10) + 3.5 = 7.4, es decir, 7400 €.
• R(200) = -0.001(200)² + 0.4(200) + 3.5 = 43.5, es decir, 43500 €.

Por lo tanto, la máxima rentabilidad es de 43500 €, que se obtiene con una inversión de 200000 €.

Continuidad y Derivabilidad de una Función

Sea la función f(x) definida como:

f(x) = 1 - 2x² si x ≤ 1

f(x) = x² - 2ax + 3 si 1 < x ≤ 3

f(x) = -x² + 8x - 15 si x > 3

a) Para que f(x) sea continua en x = 1, los límites laterales deben ser iguales:

lim_x→1⁻ (1 - 2x²) = -1

lim_x→1⁺ (x² - 2ax + 3) = 4 - 2a

Igualando los límites: -1 = 4 - 2a, obtenemos a = 5/2.

b) Si a = 5/2, la función no es continua en x = 1. Analicemos la continuidad en x = 3:

lim_x→3⁻ (x² - 5x + 3) = 0

lim_x→3⁺ (-x² + 8x - 15) = 0

f(3) = 0. Por lo tanto, la función es continua en x = 3.

En x = 1, la función no es derivable, ya que no es continua. Estudiemos la derivabilidad en x = 3:

f'(x) = -4x si x < 1

f'(x) = 2x - 5 si 1 < x < 3

f'(x) = -2x + 8 si x > 3

f'(3⁻) = 1

f'(3⁺) = 2

Como f'(3⁻) ≠ f'(3⁺), la función no es derivable en x = 3. Por lo tanto, f(x) es continua en ℝ - {1} y derivable en ℝ - {1, 3}.

Análisis de la Gráfica de una Función Derivada

La gráfica de la función derivada f'(x) de una función f(x) es una parábola que corta al eje OX en los puntos (-1, 0) y (3, 0) y tiene su vértice en (1, -4).

a) Dado que el vértice está en (1,-4) y la parábola corta al eje OX en (-1,0) y (3,0), las ramas de la parábola apuntan hacia arriba. Como f'(x) > 0 para x < -1 y x > 3, f(x) es estrictamente creciente en esos intervalos. Como f'(x) < 0 para -1 < x < 3, f(x) es estrictamente decreciente en ese intervalo. Por lo tanto, hay un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 3.

b) Si la recta tangente a la gráfica de una función g(x) en x = 0 es y - g(0) = g'(0)(x - 0), y sabemos que g(0) = -2 y g'(x) = -6e^3x, entonces g'(0) = -6. Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente: y + 2 = -6(x - 0), lo que simplifica a y = -6x - 2.