Optimización de Recursos Logísticos y Cálculo Integral: Ejercicios Resueltos

1. Optimización mediante Programación Lineal: Distribución de Suministros

Definición de Variables

• $x$: Número de camiones de agua.
• $y$: Número de camiones de medicinas.

Restricciones del Problema

Las limitaciones operativas se expresan mediante las siguientes inecuaciones:

• $x + y \leq 27$ (Restricción de capacidad total máxima).
• $x \geq 12$ (Se requiere un mínimo de camiones de agua).
• $y \geq \frac{1}{2}x$ (La cantidad de medicinas debe ser mayor o igual a la mitad de la cantidad de agua).
• $x \geq 0, \ y \geq 0$ (Restricciones de no negatividad).

Función Objetivo (Coste a Minimizar)

El objetivo es minimizar el coste total $C(x, y)$:

$$C(x, y) = 9000x + 6000y$$

Vértices del Recinto Factible

Los puntos extremos que definen la región factible son:

1. $A = (12, 6)$
2. $B = (12, 15)$
3. $C = (18, 9)$

Evaluación del Coste en los Vértices

Se evalúa la función objetivo en cada vértice para determinar el coste asociado:

• En $A$: $C(12, 6) = 9000(12) + 6000(6) = 108000 + 36000 = 144.000$
• En $B$: $C(12, 15) = 9000(12) + 6000(15) = 108000 + 90000 = 198.000$
• En $C$: $C(18, 9) = 9000(18) + 6000(9) = 162000 + 54000 = 216.000$

✅ Solución Óptima

• Asignación óptima: 12 camiones de agua ($x$) y 6 camiones de medicinas ($y$).
• Coste mínimo alcanzado: 144.000 euros.

2. Estudio de Funciones y Cálculo Diferencial/Integral

2.1. Cálculo del Área bajo la Curva en el Intervalo $[0, 2]$

La función definida para este rango es:

$$f(x) = 3x - 1, \quad \text{si } x \leq 2$$

El área se calcula mediante la integral definida en el intervalo $[0, 2]$:

$$\text{Área} = \int_0^2 (3x - 1) \, dx$$

Resolviendo la Integral:

$$\int_0^2 (3x - 1) \, dx = \left[\frac{3}{2}x^2 - x \right]_0^2 = \left(\frac{3}{2}(4) - 2\right) - (0 - 0) = (6 - 2) = 4$$

✅ Resultado: Área = 4 unidades cuadradas

2.2. Estudio de la Continuidad en $x=2$

Se analiza la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{si } x \leq 2 \\ 2x + 71 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Paso 1: Cálculo de los Límites Laterales

• Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - 1 = 5$
• Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 71 = 4 + 71 = 75$

Paso 2: Evaluación de la Función en $x=2$

Como $x \leq 2$, se utiliza la primera rama:

$$f(2) = 3(2) - 1 = 5$$

Conclusión sobre Continuidad:

Dado que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 5$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 75$, los límites laterales son distintos.

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies \text{La función presenta una } \textbf{discontinuidad de salto} \text{ en } x = 2.$$

✅ Resultado: No es continua en $x=2$

2.3. Comportamiento en el Intervalo $(2, \infty)$

Para $x > 2$, la función es:

$$f(x) = 2x + 71$$

Cálculo de la Derivada:

Se calcula la primera derivada para estudiar el crecimiento:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 71) = 2$$

Análisis del Signo de la Derivada:

Como $f'(x) = 2$, se cumple que $f'(x) > 0$ para todo $x$ en el intervalo $(2, \infty)$.

✅ Resultado: La función es creciente estrictamente en $(2, \infty)$