Optimización de Procesos Industriales mediante Diseños Factoriales y Metodología de Superficie de Respuesta

Ejercicio 1: Diseño Factorial y Modelo Polinomial

Variable Respuesta

Planicidad en milésimas de pulgadas.

Tipo de Diseño Requerido

El estudio requiere de un diseño factorial 2^k, específicamente 2³. El objetivo del experimento es determinar las condiciones de operación o los niveles de los factores (A, B, C) con una mínima variabilidad. Un diseño de primer orden se caracteriza por minimizar la varianza de los coeficientes.

Modelo Polinomial Propuesto

Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + ε

• β₀: Término independiente
• β₁, β₂, β₃: Coeficientes lineales
• ε: Error experimental

Diseño Compuesto Central (DCC) para Factores Controlables

Si se requiere un DCC para el estudio de los factores controlables, la matriz de diseño sería:

• Número de factores: 3 (2³ = 8 puntos factoriales)
• Puntos Axiales: 2k = 6
• Número total de corridas (N): 2^k + 2k = 8 + 6 = 14

Matriz de Diseño (Ejemplo de Coordenadas)

A: (-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, -s, s, 0, 0, 0, 0)
B: (-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 0, 0, -s, s, 0, 0)
C: (-1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, -s, s)

Diseño para Factores No Controlables

Se utiliza un diseño factorial 2², dado que existen dos factores no controlables (D y E). El objetivo es minimizar la varianza de los coeficientes.

Matriz de Diseño (Factores D y E)

D: (-1, -1, 1, 1, -s, s, 0, 0)
E: (-1, 1, -1, 1, 0, 0, -s, s)

Procedimiento para la Solución del Problema

1. Se determinan los factores a incluir en el estudio y la variable respuesta de interés.
2. Se investiga si la región de estudio contiene el óptimo. En caso de no ser así, se deben realizar ajustes a las variables para moverse hacia la región óptima.
3. Una vez verificado dónde se puede encontrar el óptimo, se fija la región de estudio.
4. Se plantea el modelo poblacional a estudiar, aproximado por un polinomio de bajo orden.
5. Se utiliza el análisis de regresión para encontrar estimadores de los coeficientes del modelo polinomial planteado.
6. Se selecciona un diseño de tratamiento adecuado para los requerimientos del investigador.
7. Una vez obtenido el modelo de mejor ajuste a los datos, se procede al estudio de la superficie utilizando métodos matemáticos apropiados.

Ejercicio 2: Optimización de la Viscosidad de Mooney

Variable Respuesta

Optimizar la viscosidad de Mooney del caucho.

Factores

• A: Relleno de sílice (45 - 75)
• B: Relleno de graso (19.5 - 22.5)

Tipo de Diseño a Utilizar

Se aplicará un diseño factorial 2² (dos factores con dos niveles cada uno). Posteriormente, se calculará el valor de Alfa (α).

Consideraciones sobre el Diseño Compuesto Central (DCC)

Cuando se busca precisión uniforme o calcular la eficiencia de los factores, se aplica un DCC Rotable. En este caso, el valor de α se calcula como la raíz cuarta de 2^k (o 3^k, según el diseño). De lo contrario, el diseño sería ortogonal y α se buscaría en tablas.

Los valores axiales son: -α, -1, 0, 1, α. La distancia (d) se utiliza para obtener los valores codificados (-1, 1) sumando o restando el punto medio (ej. 60) ± d.

Metodología de Superficie de Respuesta (MSR)

¿Qué es la MSR?

La MSR (Metodología de Superficie de Respuesta) es un conjunto de métodos y procedimientos estadísticos y matemáticos utilizados por los investigadores para resolver ciertos tipos de problemas de optimización.

Características y Objetivos

Tipos de Variables

• Variable Respuesta (Dependiente): Medida en escala continua.
• Variables Independientes (Factores): Controladas y manipuladas por el investigador.

Objetivos de la MSR

• Estimar un polinomio de bajo orden que aproxime la relación existente.
• Describir la superficie de respuesta obtenida y estudiar su naturaleza.
• Optimizar la relación existente a través del polinomio.

Fases de la MSR

Fase Cero (Discriminatoria)

Se seleccionan los factores del proceso que puedan influir potencialmente en el resultado.

Herramientas: Estrategias experimentales, experiencias previas, estudios anteriores, diseño experimental inicial.

Fase Uno (Ubicación de la Región)

Se ubica la región de estudio. Es de interés encontrar la combinación donde se localiza el óptimo o un punto muy cercano a él.

Herramientas: Métodos matemáticos, experiencias y estudios anteriores.

Fase Dos (Modelado)

Se obtiene un modelo polinomial de bajo orden (generalmente cuadrático) que aproxime la verdadera función respuesta dentro de la región de interés con un margen de error pequeño.