Optimización de Procesos y Fiabilidad: Fórmulas Esenciales de SPC y Taguchi

Control Estadístico de Procesos (SPC) y Distribución Normal

Este compendio resume las fórmulas esenciales para la gestión de la calidad, el control estadístico de procesos (SPC) y la ingeniería de fiabilidad, cubriendo desde la capacidad del proceso hasta la modelización de fallos.

1. Modelado y Variabilidad

• Distribución de la Variable (X): La variable de interés, como el espesor de chapa (X), se modela mediante una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
• Desviación Estándar Muestral ($\sigma$ o $s$): $$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n-1}}$$

1.1. Supuestos del Modelo Normal

Para asumir un modelo normal, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Los valores alrededor de la media forman un histograma simétrico y acampanado.
• La mayoría de las observaciones se encuentran dentro de $\pm 3\sigma$ respecto de la media.
• No existen valores extremos ni asimetrías fuertes.

1.2. Porcentaje Fuera de Especificaciones

• Cálculo de Z: Se utiliza la distribución normal tipificada para determinar el porcentaje fuera de los límites de especificación (LIE y LSE). $$Z_{inf} = \frac{LIE - \mu}{\sigma}$$ $$Z_{sup} = \frac{LSE - \mu}{\sigma}$$
• Variabilidad Natural (6 Sigma): $VN = \mu \pm 3\sigma$.
• Ejemplo de Probabilidad: Para calcular la probabilidad de que un espesor esté por debajo de un valor específico (ej. 275): $P(Z < Z_{valor}) = P\left(Z < \frac{275 - V_{nominal}}{\sigma}\right)$.

Capacidad del Proceso e Ingeniería de Calidad Taguchi

2. Función de Pérdida de Taguchi

La función de pérdida de Taguchi cuantifica la pérdida económica incurrida por la desviación de la característica de calidad respecto al valor nominal (T).

• Función de Pérdida: $L(y) = k \cdot (y - T)^2$
• Constante de Pérdida (k): $k = A / \Delta^2$
• T: Valor nominal (Target).
• $\Delta$: Tolerancia.
• A: Coste en el límite de tolerancia (la gráfica es una parábola o "sonrisa").

2.1. Pérdida Esperada y ROI

• Valor Esperado de la Pérdida Media: $$E[L(y)] = k \cdot (s^2 + (\mu - T)^2) \quad (\$/unidad)$$ (Donde $s^2$ es la varianza).
• Centrado del Proceso: Al centrar el proceso, se elimina el término de desviación $(\mu - T)^2$ de la función de pérdida de Taguchi.
• Retorno de Inversión (ROI): $$ROI = \frac{\text{Coste por mejorar/centrar el proceso}}{\text{Ahorro anual}} \quad (\text{Años})$$

3. Índices de Capacidad del Proceso ($C_p$ y $C_k$)

3.1. Capacidad Potencial ($C_p$)

Mide la capacidad del proceso si estuviera perfectamente centrado.

• Fórmula: $$C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}$$
• Interpretación: Si $C_p > 1$, el proceso es potencialmente capaz. (USL: Límite Superior de Especificación, LSL: Límite Inferior de Especificación).

3.2. Capacidad Real ($C_k$)

Mide la capacidad real, teniendo en cuenta el centrado del proceso.

• Fórmula: $$C_k = \min(C_{p,s}, C_{p,i})$$ Donde: $$C_{p,s} = \frac{USL - \mu}{3\sigma}$$ $$C_{p,i} = \frac{\mu - LSL}{3\sigma}$$
• Descentrado: Si el proceso está descentrado, se debe centrar para reducir la variabilidad.
• Análisis de Desviación:
  • Si $C_{pu} < C_{pl}$, la media está más cerca del LSE (Límite Superior de Especificación).
  • Si $C_{pl} < C_{pu}$, la media está más cerca del LIE (Límite Inferior de Especificación).

3.3. Intervalos de Confianza (IC) para la Capacidad

• IC General: $IC = \text{Estimación} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \text{Error}$
• IC para $C_p$ ($\alpha=0.05$): $$IC_{C_p} = C_p \pm Z_{\alpha/2} \cdot \left(\frac{C_p}{\sqrt{2(n-1)}}\right)$$ (Para $\alpha=0.05$, $Z_{\alpha/2} = 1.96$).
• IC para $C_k$: $$IC_{C_k} = C_k \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{C_k^2}{2(n-1)} + \frac{1}{9n}}$$

Ingeniería de Fiabilidad y Modelos de Vida

4. Distribución Exponencial (Vida Útil Constante)

La distribución exponencial modela la fase de vida útil, donde la tasa de fallo ($\lambda$) es constante en el tiempo.

• Función de Fiabilidad: $R(t) = P(T > t) = e^{-\lambda t}$
• Gráfico: Fiabilidad $y = R(t)$ vs. Tiempo $x$.
• Tasa de Fallos ($\lambda$): Se despeja de la función de fiabilidad. Ejemplo: Si $R(10) = 0.5$, entonces $e^{-10\lambda} = 0.5$.
• Tiempo Medio Entre Fallos (MTBF): $MTBF = 1/\lambda$ (en horas).
• Cálculo de Percentil ($t_p$): Para la exponencial (donde $\theta = 1/\lambda$): $t_p = -\theta \cdot \ln(1 - p)$.
• Fiabilidad a un Tiempo $t$: $R(500)$ es la probabilidad de que el equipo no falle hasta después de 500 horas.

4.1. Estimación de Vida Media ($\theta$) en Pruebas

La estimación de la vida media ($\hat{\theta}$) depende del tipo de prueba (con o sin reemplazo).

• Tiempo Total de Prueba (T):
  • Con reemplazo: $T = n \cdot t_r$ ($n$: unidades, $t_r$: duración de la prueba).
  • Sin reemplazo: $T = \sum t_i + (n - r) \cdot t_r$ ($t_i$: tiempo de fallo, $r$: número de fallos).
• Estimación de Vida Media (MTBF): $\hat{\theta} = T/r$

4.2. Intervalos de Confianza para $\theta$ (Exponencial)

Se utiliza la distribución Chi-cuadrado ($\chi^2$).

• Fiabilidad Mínima Unilateral (Nivel de Confianza $1-\alpha$): $$R_{min}(t) = \exp\left( - \frac{t}{\theta_{min}} \right)$$ Donde: $$\theta_{min} = \frac{2T}{\chi^2_{2(r+1); \alpha}}$$ (Se entra a la tabla $\chi^2$ con $2(r+1)$ grados de libertad y probabilidad $\alpha$).
• Intervalo de Confianza Bilateral para $\theta$: $$\frac{2T}{\chi^2_{2r; \alpha/2}} < \theta < \frac{2T}{\chi^2_{2r; 1-\alpha/2}}$$

4.3. Prueba de Hipótesis (Unilateral)

Se compara el estadístico $2T/\theta_0$ con el valor crítico de la distribución $\chi^2$. (Ejemplo con $\theta_0=10$)

• Hipótesis $H_0: \theta \ge 10$ vs $H_1: \theta < 10$: Se utiliza el valor crítico $\chi^2_{2(r+1); \alpha}$ (cola inferior, ej. $\alpha=0.05$).
• Hipótesis $H_0: \theta \le 10$ vs $H_1: \theta > 10$: Se utiliza el valor crítico $\chi^2_{2(r+1); 1-\alpha}$ (cola superior, ej. $1-\alpha=0.95$).

4.4. Probabilidades Condicionales de Fallo

• Probabilidad de Fallar en las Próximas $t$ horas: $P(\text{Fallo} < t) = 1 - R(t)$.
• Probabilidad de Fallar antes de $t_2$ sabiendo que funcionó $t_1$: $$P(T < t_2 | T > t_1) = \frac{R(t_1) - R(t_2)}{R(t_1)}$$
• Probabilidad de No Fallar antes de $t_2$ sabiendo que funcionó $t_1$: $$P(T > t_2 | T > t_1) = \frac{R(t_2)}{R(t_1)}$$

5. Distribución de Weibull

La distribución de Weibull es flexible y se utiliza para modelar las tres fases de la vida de un producto.

• Parámetros: $\theta$ (parámetro de escala), $\beta$ (parámetro de forma).
• Función de Fiabilidad: $$R(t) = P(T > t) = e^{-(t/\theta)^\beta}$$
• Función de Distribución Acumulada (CDF): $$F(t) = P(T < t) = 1 - e^{-(t/\theta)^\beta}$$

5.1. Características de Weibull

• Vida Mediana: Se calcula despejando $t$ cuando $R(t) = 0.5$.
• Envejecimiento: Si $\beta > 1$, el equipo experimenta envejecimiento (tasa de fallo creciente).
• Vida Media $E(T)$: $$E(T) = \theta \cdot \Gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\right)$$
• Tasa de Fallo $\lambda(t)$: $$\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \beta \cdot (\theta^{-\beta}) \cdot t^{\beta-1} \quad (\text{Fallos/Ciclo})$$
• Tiempo para un Fallo Específico ($t_p$): Tiempo para que no más del 1% falle ($p=0.01$): $$P(T < t_p) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{t_p}{\theta}\right)^\beta\right) = p$$