Optimización de Funciones: Valores Críticos, Teoremas y Estudio Gráfico

Valores Críticos

Si f'(Xo)=0 → Xo Valor crítico estacionario. Si f'(Xo)=ε → Xo Valor crítico singular.

Ejemplos de Cálculo de Valores Críticos

a) f(x)= x² (1-x)² Df= R (-∞, +∞)

f'(x)= 2x (1-x)² + x² . 2 (1-x) . (-1) → f'(x)= 2x (1-x)² -2x² (1-x)

f'(x)= 2x(1-x) [1-x-x] FC. → f'(x)= 2x(1-x)(1-2x)

Valores críticos estacionarios 2x(1-x)(1-2x)=0

2x=0 X=0 ∈ Df 1-x=0 X=1 ∈ Df 1-2x=0 X=1/2 ∈ Df

b) F(x)=X √8-x Df (-∞, 8]

8-x≥0 8≥x x≤8

f(x)= X(8-x)^1/2 f'(x)= (8-x) ^1/2 + x . 1/2(8-x)^-1/2 (-1)

f'(x)= √8-x = X f'(x)= (2(√8-x)² -x) / (2√8-x) f'(x)= (16-2x-x) / (2√8-x) f'(x)= (16-3x) / (2√8-x)

VC Estacionarios (16-3x) / (2√8-x) =0 16-3x=0 x=16/3 ≈5,33 ∈ Df VCE

VC Singular. 2√8-x =0 (√8-x)²=(0)² 8-x=0 X=8 ∈ Df VCS

Extremos Absolutos

Ejemplo de Cálculo de Extremos Absolutos

a) f(x) = √4-x² en [-2,1]

i) f(-2)= √4-(-2)² = √4-4 = √0 =0 f(1)= √4-1² = √3 = 1,73

ii) f(x)= (4-x²)^1/2 . (-2x) F'(x)= - X/(4-x²)^1/2 = -X/ √4-x²

VCE. -X/ √4-x²=0 -x=0 x=0 ∈ (-2,1) VCE

VCS. (√4-x²)²=(0)² 4-x² =0 4=x² ±√4 =X X=±2 x= 2 no es VC. x=-2 VCE

iii) Evaluar VC →x=0 y X=-2

F(0)= √4-0²= √4 =2 F(-2)= √4-(-2)² =0

iv) Comparar imágenes.

Teorema de Rolle y Valor Medio

Ejemplos de Aplicación de los Teoremas de Rolle y Valor Medio

a) f(x)= - en [0,5]

f(0) = 5 - = 0 f(5)= - = - =0

f(x)= 5x^2/3 - x^5/3 → f'(x)= 5.(2/3)x^-1/3 - (5/3)x^2/3 → f'(x)=(10/3)x^-1/3 - (5/3)x^2/3 → f'(x)= (30-15x) / (9x^1/3)

(30-15x) / (9 ³√x) = 0 30-15x=0 30=15x 30/15=x X=2 ∈ (0,5) satisface el teorema de Rolle.

b) f(x)= (X+3)/(-X+3) [-2,2]

f(-2)= (-2+3) / (-(-2)+3) = 1/5 f(2)= (2+3) / (-2+3)= 5/1= 5 f'(x)= (1)(-x+3)-(x+3)(-1) / (-x+3)²

f'(x)= (-x+3+x+3) / (-x+3)² = 6/(-x+3)² F'(x)=(F(2)- F(-2)) / (2-(-2))

6/(-x+3)² = (5-1/5) / 4 = 6/(-x+3)² = (24/5) / (4/1)

6/(-x+3)² = 6/5 = 1/(-x+3)² = 1/5 5= (-x+3)² ±√5 = -x+3

x=3±√5 X1= 3+2,23= 5,23 no pertenece X2=3-2,23=0,77 pertenece Teorema valor medio

Estudio de la Gráfica

Análisis Completo de una Función Racional

f(X)= X/(x²-1)

1) Dominio: Df= R - {±1}

2) Cortes:

• Con el eje "y": X=0 Y=0/(0²-1)= 0/-1=0 (0,0)
• Con el eje "X": Y=0 0=X/(x²-1) X=0 (0,0)

3) Simetría:

• Respecto al eje y: F(x) = F(-x)

f(X)= X/(x²-1) F(-x)= -x/((-x)²-1) = -x/(x²-1) f(x) ≠ F(-x) no existe simetría respecto al eje y

• Respecto al origen: F(-x)=-f(x)

f(X)= X/(x²-1) -F(x)= -(x/(x²-1)) -F(x)= -X/(x²-1) F(-x) = -F(x) existe simetría respecto al origen

4) Asíntotas:

AV → x²-1=0 X=±1 X=1 X=-1

Lim X/(x-1)(x+1) = -1/((-2)(-1,01+1)) = -1/((-2)(0+)) = -∞

x→-1^-

Lim X/(x-1)(x+1) = -1/((-2)(0,99+1)) = -1/((-2)(0+)) = +∞

x→-1⁺

Lim X/(x-1)(x+1) = 1/((0,99-1)(2)) = 1/((0-)(2)) = -∞

x→1^-

Lim X/(x-1)(x+1) = 1/((1,01-1)(2)) = 1/((0+)(2)) = +∞

x→1⁺

AH → P(x) menor Q(x)

Lim x→∞ x/x² = 0 = 0/1 = 0

x²/x² - 1/x² 1-0 Corte con la AH. F(x)=L x/(x²-1)=0 X=0 Y=0

5) Criterio de la primera derivada.

f'(x)= ((1)(x²-1)-x(2x)) / (x²-1)² = (x²-1-2x²) / (x²-1)² f'(x)= (-x²-1) / (x²-1)²

-2-1=0 -1=x² X= √-1= E (x²-1)²=0 X²-1=0 x=±1 no pertenece al Df

No hay extremos relativos.

6) Criterio de la segunda derivada.

f''(x)= ((-2x)(x²-1)²-(-x²-1).2(x²-1).(2x)) / [(x²-1)²]² = f''(x)=(-2x(x²-1)²-4x(-x²-1)(x²-1)) / (x²-1)⁴

f''(x)= (-2x(x²-1) [x²-1+2(-x²-1)]) / (x²-1)⁴ f''(x)=(-2x(x²-1)-2x²-2) / (x²-1)³ = (2x(x²+3)) / (x²-1)³

2x=0 X=0 ∈ Df PPI X²+3=0 X=E (x²-1)³ =0 x²-1=0 X=+- no pertenece