Optimización de Funciones Multivariables: Extremos, Puntos Críticos y Convexidad

Extremos Locales de Funciones Multivariables

Sea f: C → R una función definida en un conjunto abierto C ⊆ R^n. Diremos que el punto a ∈ C es:

• Un máximo relativo (o local) estricto de f si f(a) > f(x) para todo x perteneciente a un entorno reducido de a.
• Un mínimo relativo (o local) estricto de f si f(a) < f(x) para todo x perteneciente a un entorno reducido de a.
• Un máximo relativo (o local) de f si f(a) ≥ f(x) para todo x perteneciente a un entorno de a.
• Un mínimo relativo (o local) de f si f(a) ≤ f(x) para todo x perteneciente a un entorno de a.

A estos máximos y mínimos les llamaremos extremos locales o relativos de f en C.

Extremos Globales de Funciones Multivariables

Sea f: C → R una función definida en un conjunto abierto C ⊆ R^n. Diremos que el punto a ∈ C es:

• Un máximo global estricto de f si f(a) > f(x) para todo x ∈ C (x ≠ a).
• Un mínimo global estricto de f si f(a) < f(x) para todo x ∈ C (x ≠ a).
• Un máximo global de f si f(a) ≥ f(x) para todo x ∈ C.
• Un mínimo global de f si f(a) ≤ f(x) para todo x ∈ C.

A estos máximos y mínimos los llamaremos extremos globales de f en C.

Puntos Críticos y Condiciones de Primer Orden

Sea f: C → R una función definida en un conjunto abierto C ⊆ R^n. Si f es diferenciable en C, llamaremos puntos críticos o estacionarios de f a aquellos puntos a ∈ C que cumplan df(a) = 0. Por tanto, en un punto crítico se anulan todas las primeras derivadas parciales de f.

Condición de Primer Orden para Extremos

Sea f: C → R una función diferenciable, definida en un conjunto abierto C ⊆ R^n. Si a ∈ C es un extremo local de f, entonces a es un punto crítico de f.

A los puntos críticos que no son extremos relativos los llamaremos puntos de silla o de ensilladura.

Condiciones de Segundo Orden para Extremos

Condición Suficiente de Segundo Orden (Forma Cuadrática)

Sea f: C → R una función real de clase C^2 definida en un conjunto abierto C ⊆ R^n y sea a ∈ C un punto crítico de f. Se cumple:

• Si d^2f(a) es una forma cuadrática definida positiva, entonces a es un mínimo relativo estricto de f en C.
• Si d^2f(a) es una forma cuadrática definida negativa, entonces a es un máximo relativo estricto de f en C.
• Si d^2f(a) es una forma cuadrática indefinida, entonces a no es un extremo relativo de f en C.

Condición de Segundo Orden (Matriz Hessiana)

Sea f: C → R una función real de clase C^2 definida en un conjunto abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C un punto crítico de f. Se cumple:

• Si H_f(a) es una matriz definida positiva, entonces a es un mínimo relativo estricto de f en C.
• Si H_f(a) es una matriz definida negativa, entonces a es un máximo relativo estricto de f en C.
• Si H_f(a) es una matriz indefinida, entonces a no es un extremo relativo de f en C.

Funciones Cóncavas y Convexas

Sea f: C → R una función real definida en un conjunto C ⊆ R^n abierto y convexo. Diremos que f es:

• Cóncava en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Estrictamente cóncava en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) > λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Convexa en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Estrictamente convexa en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y).

Criterios de Convexidad y Concavidad con la Segunda Derivada

Sea f: C → R con C ⊆ R^n abierto y convexo. Supongamos que f es de clase C^2 en todo C. Entonces:

1. f es cóncava en C si y solo si d^2f(x) es una forma cuadrática semidefinida negativa en cada x ∈ C.
2. Si d^2f(x) es una forma cuadrática definida negativa en cada x ∈ C, entonces f es estrictamente cóncava en C.
3. f es convexa en C si y solo si d^2f(x) es una forma cuadrática semidefinida positiva en cada x ∈ C.
4. Si d^2f(x) es una forma cuadrática definida positiva en cada x ∈ C, entonces f es estrictamente convexa en C.

Teorema Local-Global para Funciones Cóncavas y Convexas

Sea f: C → R una función real, con C ⊆ R^p abierto y convexo. Supongamos que f es diferenciable en todo C. Entonces:

• Si f es cóncava en C, todo punto crítico a de f es un máximo global de f en C.
• Si f es estrictamente cóncava en C, hay como mucho un único punto crítico de f en C y, en caso de existir, es un máximo global estricto.
• Si f es convexa en C, todo punto crítico a de f es un mínimo global de f en C.
• Si f es estrictamente convexa en C, hay como mucho un único punto crítico de f en C y, en caso de existir, es un mínimo global estricto.