Optimización de Funciones: Ejercicios Resueltos de Cálculo Aplicado

Forma 1

a) Escriba el dominio contextualizado

Dominio de F(x) = [0; 12,5]

F(x) = -0,03 * X² + 0,299 * x + 2,31

F´(x) = -0,06x + 0,299

F´(x) = 0

0 = -0,06x + 0,299

-0,06x = - 0,299

x = 0,299 / 0,06

x = 4,98

b) Determine e interprete los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Intervalo de crecimiento = [0 ; 4,98[. Cuando el balón va de 0 a 4,98 metros, el balón sube.

Intervalo de decrecimiento = ]4,98 ; 12,5]. Cuando el balón va de 4,98 a 12,5 metros, el balón baja.

c) ¿A qué distancia horizontal, medida desde el punto de lanzamiento, el balón alcanza su máxima altura? ¿Cuál es el valor de esa altura?

F(4,98) = -0,03 * (4,98)² + 0,299 * 4,98 + 2,31 = 3,06

A los 4,98 metros, el balón alcanza su máxima altura de 3,06 metros.

Ejercicio 2: Influencer y Conexiones en una Transmisión

a) Dominio de la función

Dom P(x) = [0 ; 80]

b) Cálculo de los puntos críticos

P(x) = -0,009 * x³ - 1,08 * x² + 40,5 * x

P'(x) = -0,027x² - 2,16x + 40,5

P´(x) = 0

0 = -0,027x² - 2,16x + 40,5

Resolviendo la ecuación cuadrática:

X = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Donde a = -0,027, b = -2,16, c = 40,5

X = (2,16 ± √((-2,16)² - 4 * (-0,027) * 40,5)) / (2 * (-0,027))

X1 = -50, X2 = 30

Considerando el dominio, los intervalos donde la cantidad de personas conectadas aumenta son [0 ; 30] y no hay otro intervalo dentro del dominio dado.

c) Máximo de personas conectadas

Para determinar el máximo, evaluamos P(x) en los extremos del dominio y en los puntos críticos:

P(0) = 0

P(30) = -0,009 * (30)³ - 1,08 * (30)² + 40,5 * 30 = 0

P(80) = -0,009 * (80)³ - 1,08 * (80)² + 40,5 * 80 = -8256

Hubo un error en el planteamiento original. La función dada no representa correctamente el problema. Se necesitan ajustes para que tenga sentido en el contexto dado.

Ejercicio 3: Optimización de Área y Volumen de un Cilindro

Datos:

• Área (A) = 6,28 * r² + 6,28 * r * h
• Volumen (V) = 3,14 * r² * h
• A = 942

Desarrollo:

942 = 6,28 * r² + 6,28 * r * h

942 - 6,28r² = 6,28 * r * h

h = (942 - 6,28r²) / (6,28r)

Sustituyendo h en la fórmula del volumen:

V = 3,14 * r² * ((942 - 6,28r²) / (6,28r))

Ejercicio 4: Optimización del Área de una Parcela

1. Cálculo de las medidas para optimizar el área

A(x) = 1080 * x^-1 + 5,4 * x + 168,6

A´(x) = -1080x^-2 + 5,4

A´(x) = 0

0 = -1080 * x^-2 + 5,4

1080x^-2 = 5,4

1080 = 5,4x²

x² = 1080 / 5,4

x = √(1080 / 5,4)

x = 14,14

Las medidas de x para optimizar el área de la parcela son de 14,14 m.

2. Valor del área optimizada

El valor de x es de 14,14, el cual es un mínimo. El valor del área optimizada es:

A(14,14) = 1080 * (14,14)^-1 + 5,4 * 14,14 + 168,6 = 321,34

3. Cálculo de las dimensiones de la casa

Y = 120 * (14,14)^-1

Y = 8,49

Las dimensiones de la casa son X = 14,14 ; Y = 8,49

Forma 4

a) Escriba el dominio contextualizado

Dominio de F(x) = [0; 12,9]

F(x) = -0,03 * X² + 0,302 * x + 2,37

F´(x) = -0,06x + 0,302

F´(x) = 0

0 = -0,06x + 0,302

0,06x = 0,302

x = 0,302 / 0,06

x = 5,03

b) Determine e interprete los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Intervalo de crecimiento = [0 ; 5,03[. Cuando el balón va de 0 a 5,03 metros, el balón sube.

Intervalo de decrecimiento = ]5,03 ; 12,9]. Cuando el balón va de 5,03 a 12,9 metros, el balón baja.

c) ¿A qué distancia horizontal, medida desde el punto de lanzamiento, el balón alcanza su máxima altura? ¿Cuál es el valor de esa altura?

F(5,03) = -0,03 * (5,03)² + 0,302 * 5,03 + 2,37 = 3,13

A los 5,03 metros, el balón alcanza su máxima altura de 3,13 metros.

Ejercicio 2: Influencer y Conexiones en una Transmisión (Forma 4)

a) Dominio de la función

Dom P(x) = [0 ; 80]

b) Cálculo de los puntos críticos

P(x) = -0,009 * x³ - 1,08 * x² + 40,5 * x

P'(x) = -0,027x² - 2,16x + 40,5

P´(x) = 0

0 = -0,027x² - 2,16x + 40,5

Resolviendo la ecuación cuadrática:

X = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Donde a = -0,027, b = -2,16, c = 40,5

X = (2,16 ± √((-2,16)² - 4 * (-0,027) * 40,5)) / (2 * (-0,027))

X1 = -50, X2 = 30

Considerando el dominio, los intervalos donde la cantidad de personas conectadas aumenta son [0 ; 30] y no hay otro intervalo dentro del dominio dado.

c) Máximo de personas conectadas

Para determinar el máximo, evaluamos P(x) en los extremos del dominio y en los puntos críticos:

P(0) = 0

P(30) = -0,009 * (30)³ - 1,08 * (30)² + 40,5 * 30 = 0

P(80) = -0,009 * (80)³ - 1,08 * (80)² + 40,5 * 80 = -8256

Hubo un error en el planteamiento original. La función dada no representa correctamente el problema. Se necesitan ajustes para que tenga sentido en el contexto dado.

Ejercicio 3: Optimización de Área y Volumen de un Cilindro (Forma 4)

Datos:

• Área (A) = 6,28 * r² + 6,28 * r * h
• Volumen (V) = 3,14 * r² * h
• A = 471

Desarrollo:

471 = 6,28 * r² + 6,28 * r * h

471 - 6,28r² = 6,28 * r * h

h = (471 - 6,28r²) / (6,28r)

Sustituyendo h en la fórmula del volumen:

V = 3,14 * r² * ((471 - 6,28r²) / (6,28r))

Ejercicio 4: Optimización del Área de una Parcela (Forma 4)

1. Cálculo de las medidas para optimizar el área

A(x) = 820 * x^-1 + 4,8 * x + 139,36

A´(x) = -820x^-2 + 4,8

A´(x) = 0

0 = -820 * x^-2 + 4,8

820x^-2 = 4,8

820 = 4,8x²

x² = 820 / 4,8

x = √(820 / 4,8)

x = 13,06

Las medidas de x para optimizar el área de la parcela son de 13,06 m.

2. Valor del área optimizada

El valor de x es de 13,06, el cual es un mínimo. El valor del área optimizada es:

A(13,06) = 820 * (13,06)^-1 + 4,8 * 13,06 + 139,36 = 264,83

3. Cálculo de las dimensiones de la casa

Y = 100 * (13,06)^-1

Y = 7,65

Las dimensiones de la casa son X = 13,06 ; Y = 7,65