Optimización de Funciones: Derivadas, Rentabilidad y Continuidad

Análisis de la función f(x) = 2x² - (1/3)x³

a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

f’(x) = 4x - x² = 0 ; x = 0 ; x = 4.

La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (-∞, 0) U (4, ∞). Tiene un máximo en (4, 32/3) y un mínimo en (0, 0).

c) Igualamos la derivada a 4.

f’(x) = 4x - x² = 4 ; x = 2.

Luego el punto es (2, 16/3).

Cálculo de Derivadas

Función 1: f(x) = e^3x / (1 + x²)

f’(x) = [3 * e^3x * (1 + x²) - e^3x * (2x)] / (1 + x²)² = e^3x * (3x² - 2x + 3) / (1 + x²)²

Función 2: g(x) = ln(x(1 + 3x²)) = ln(3x³ + x)

g’(x) = (9x² + 1) / (3x³ + x)

Función 3: h(x) = 2^5x + 1/x²

h’(x) = 5 * 2^5x * ln(2) - 2/x³

Estudio de Rentabilidad de Inversión en Publicidad

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad.

a) Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X:

0. 5x² - 4x + 6 = 0 ; x = 6 ; x = 2.

La empresa tiene pérdidas para todos los valores del intervalo (2, 6).

b) Lo que me están pidiendo es el máximo absoluto de B(x), que se alcanza entre las soluciones de B’(x) = 0, y en los extremos del intervalo x = 0 y x = 10.

De B’(x) = x – 4 = 0, obtenemos x = 4. Sustituimos estos tres valores en B(x).

• B(0) = 0.5(0)² – 4(0) + 6 = 6
• B(4) = 0.5(4)² – 4(4) + 6 = -2
• B(10) = 0.5(10)² – 4(10) + 6 = 16

El beneficio máximo que se obtiene es de 16 mil euros y se alcanza para x = 10 mil euros.

c) El beneficio si no se invierte nada (x = 0) es B(0) = 6 mil euros.

B(x) = 0.5x² – 4x + 6 = 6 ; 0.5x² – 4x = 0 = x(0.5x – 4), de donde x = 0 y 0.5x – 4 = 0, es decir x = 8. Por tanto, se obtiene el mismo beneficio de 6 mil euros no invirtiendo nada (x = 0) o invirtiendo 8 mil euros.

Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función Definida a Tramos

Sea la función f(x) = 2/x si x ≤ 1 ; x² - 4x + 5 si x > 1.

a) La función 2/x es continua y derivable para todos los valores excepto en x = 0; la función x² - 4x + 5 es continua y derivable para todos los valores. Vamos a estudiar si la función f(x) es continua y derivable en x = 1.

Límite de x tiende a 1 por la izquierda de 2/x = 2.

Límite de x tiende a 1 por la derecha de x² - 4x + 5 = 2.

f(1) = límite de x tiende a 1 de f(x) = 2. Continua en x = 1.

Calculamos la función derivada:

f’(x) = -2/x² si x < 1 ; 2x - 4 si x > 1.

f’(1 izquierda) = -2.

f’(1 derecha) = -2.

Se igualan; Derivable en x = 1. Luego la función f(x) es continua y derivable en R - {0}.

b) Representación (No proporcionada).

Determinación de Parámetros y Análisis de una Función Cuadrática

Sea la función f(x) = 2x² + ax + b.

a) Como pasa por el punto (1, 3) me dicen que f(1) = 3. Como tiene un extremo local en el punto de abscisa x = -2, me dicen que f’(-2) = 0.

f(x) = 2x² + ax + b ; f(1) = 3, nos da 3 = 2 + a + b.

f’(x) = 4x + a ; f’(-2) = 0, nos da 0 = -8 + a, de donde a = 8 y b = -7.

b) La función es: f(x) = 2x² + 8x - 10.

Calculamos la primera y segunda derivada.

f’(x) = 4x + 8 = 0 ; x = -2.

f’’(x) = 4.

Como f’’(x) = 4 > 0; la función es convexa. Tiene un mínimo en (-2, -18).

Calculamos los puntos donde se anula la función: 2x² + 8x - 10 = 0 ; x = 1 ; x = -5.