Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años (0,2) U (6,8) y decrecen en (2,6).

Sea f ( x ) una función cuya función derivada, f '( x ), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX

Esbozamos la gráfica con los datos que nos dan: a) Viendo la gráfica se deduce que: La función es creciente en el intervalo: (-∞,-1) U (5,∞) y decreciente en el intervalo: (-1,5). B) Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x = -1 y un mínimo relativo en el punto de abscisa x=5. C) La recta tangente en x = 2 , es: y - f(2) = f’(2) por (x-2). ; -f(2)=5 ; -f’(2)= -4. Sustituyendo, tenemos: y-5= -4 por (x-2) ; y= -4x +13.

Estudie la derivabilidad de la función f (x)= ex ; 1 ; -x2 + 6x +2

La función exponencial ex es continua y derivable en R. Las funciones:
1 y -x2 +6x +2, son funciones polínómicas y, también, son continuas y derivables en R. Por lo tanto, sólo debemos estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0 y x = 3. Estudiamos la continuidad en x=0. Lim de x tiende a 0 por la izquierda de ex = 1. Lim de x tiende a 0 por la derecha de 1=1. Se igualan los limites ; f(0)=1. Es continua en x=0. Estudiamos la continuidad en x=3. Lim de x tiende a 3 por la izquierda de 1=1. Lim de x tiende a 3 por la derecha de (-x2 +6x +2)=11. No es continua en x = 3 y, por lo tanto, tampoco es derivable. Estudiamos la derivabilidad en x = 0 Calculamos la función derivada: f '(x) = [ ex si x<0 ;="" 0="" si="" 0="">0>< x="">< 3="" ;="" -2x+6="" si="" x="">3. F’(0izquierda) =1. F’(0derecha)= 0. F’(0izquierda) no es igual f’(0derecha) ; No es derivable en x=0. Por lo tanto, la función f (x) es derivable en R - {0,3}.

Consideremos la función f ( x ) = { -x2 +6x -5 si 24>

Estudiamos la continuidad en x = 4. Lim de x tiende a 4 por la izquierda de -x2 +6x -5= 3. Lim de x tiende a 4 por la derecha de -2x +11 =3. lim f(x) = lim f(x) =3. La función es continua en x = 4. Calculamos la función derivada: f '(x) = [ -2x+6 si 2<><4 ;="" -2="" si="" x="">4. F’(4izquierda) = -2. ; f’(4derecha) = -2. ; f’(4izquierda) = f’(4derecha) = -2. La función es derivable en x = 4. B) Representamos la función. Máximo absoluto (3, 4) , mínimo absoluto (5,1).4>