Optimización de Funciones y Cálculo de Derivadas en Problemas de Cálculo

Sea la función f ( x ) = xcubo -24xcuadrado +4x

a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''(x) = 6x - 48 = 0 ; x = 8, que no está en su dominio. La función es cóncava en el intervalo (-∞,8) y convexa en el intervalo (8,+∞). Tiene un punto de inflexion en (8, -992). B) La ecuación de la tangente es: y -f(-2) = f’(-2)(x+2). F(-2)= (-2)cubo -24(-2)
cuadrado + 4(-2) = -112. F’(x)= 3xcuadrado - 48x +4 ; f’(-2)= 12+96+4=112. Sustituyendo, tenemos que: y -f(-2) = f’(-2)(x+2) ; y+112= 112(x+2) ; y=112x +112. C) Calculamos la primera derivada. F’(x)= 3xcuadrado -48x +4 ; f’(1)= 3(1)cuadrado -48 por 1+ 4= -41<0. Es="">0.> Derivadas:
f(x) = (x2 -5)cubo/3-xcuadrado = f’(x) = 3(x2-5)cuadrado por 2x (3-x2) - (-2x)(x2-5)cubo / (3-x2)cuadrado = 2x(x2-5)cuadrado (4-2x2) / (3-x2)cuadrado. G(x)= e elevado a 7x (x-

5x2

Cuadrado= g’(x)= 7 por e elevado a 7x(x-5x2)cuadrado + e elevado a 7x por 2 (x-5x2)(1-10x)= e elevado a 7x (x-5x2)(-35x2 -13x +2). H(x) = x por ln(1-x2) / x-3= h’(x) = [1por ln(1-x2) +x por -2x/1-x2] (x-3) -1 por x por ln(1-x2) / (x-3)cuadrado = [(1-x2) ln (1-x2) -2x2)] (x-3) - (1-x2) x ln(1-x2) / (1-x2)(x-3)cuadrado.

Se considera la función f (x) = { x3 -1 si x1.1>

La función polínómica x3-1 es continua y derivable en R. La función polínómica -x2 +4x -3 es continua y derivable en R. Por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad en x=1. Estudiamos la continuidad en x=1.
lim de x cuando tiene a 1 por la izquierda de x3 -1=0. Lim de x cuando tiene a 1 por la derecha de -x2 +4x -3=0. Lim=lim= f(1)= 0. Es continua en x = 1. Por lo tanto, el dominio de la función es R. B) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f’(x) = 3x2= 0 ; x=0. F’(x) = -2x +4=0 ; x=2. La función tiene un máximo en (2,1). C) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f’’(x)= 6x= 0 ; x=0. F’’(x)= -2. La función es cóncava en el intervalo (-∞,0) U (1,+∞) y es convexa en el intervalo (0,1). Tiene un punto de inflexión en (0,1) y otro en (1,0).

En una empresa el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función M(t).

a)M(1) = 11 por 1 +17/ 2 por 1 + 12= 28/14= 2. Se realizan 2 montajes el primer día. 5= 11t +17/2t +12 ; 10t + 60= 11t + 17 ; t=43.Se necesitan 43 días. B)Calculamos la derivada de la función.
M’(t)= 11(2t +12) - 2(11t +17)/ (2t +12)2 = 98/ (2t +12)2 = 0. No. Vemos que M '(t) > 0 para cualquier valor de t, luego, la función es creciente y, por lo tanto, el dueño de la empresa lleva razón. D) Dibujamos la función.