Optimización de Funciones: Beneficios, Continuidad y Derivabilidad
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La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:
Maximización de Beneficios
A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.
Análisis de la Derivada
b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.
Cálculo de Inversión para un Beneficio Específico
c) Hacemos el dibujo de la función: Calculamos para qué valores de x el beneficio es de 138 mil €. f(x) = -2x2 + 36x + 138 = 138 -2x2 + 36x = 0 x=0 x=18. Luego, se obtiene un beneficio de 138 mil € con una inversión de 0 mil € y 18 mil €.
Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función Definida a Tramos
Sea la función f definida por:
f (x) =
- -bx2 - bx + a si x ≤ 2
- 60/x si x>2
Estudio de la Continuidad
La función polinómica -bx2 -bx + a es continua y derivable en R. La función racional 60/X es continua y derivable en R - [0]. Por lo tanto, solo debemos estudiar la continuidad y derivabilidad en x=2.
Estudiamos la continuidad en x = 2.
Límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de -bx2 -bx + a= -4b -2b + a= -6b + a
Límite cuando x tiende a 2 por la derecha de 60/x = 30.
Límite de f(x) tiende a 2 izquierda= Límite de f(x) tiende a 2 derecha = -6b + a= 30.
Estudio de la Derivabilidad
Estudiamos la derivabilidad en x = 2. Calculamos la función derivada:
f '(x) =
- -2bx - b si x<2
- -60/x2 si x>2
f ‘(2 izquierda)= -4b - b = -5b
f ‘(2 derecha) = -60/4 = -15
f ‘(2 izquierda)= f ‘(2 derecha) = -5b= -15.
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas, tenemos que: a = 48 y b = 3
Análisis de la Derivada
b) Calculamos la función derivada y la igualamos a cero:
f ‘(x)=
- -6x - 3 si x<2
- -60/x2 si x>2
-6x -3= 0 ; x= -1/2. La función es creciente en el intervalo: (-∞, -1/2) y decreciente en el intervalo: (-1/2, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (-1/2, 195/4).
Análisis de la Función Cúbica
Sea la función f(x)= x3 -3x2 + 3x.
Cálculo de Máximos y Mínimos
a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '(x) = 3x2 -6x + 3=0 ; x=1. La función es creciente en el intervalo: (-∞,1) U (1,+∞). Por lo tanto, la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Puntos de Inflexión
b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ‘'(x)= 6x -6= 0 ; x=1 La función es cóncava en el intervalo: (-1,∞) y convexa en el intervalo (1, + ∞). Por lo tanto, tiene un punto de inflexión en (1,1) .
Representación Gráfica
c) Hacemos el dibujo de la función: