Optimización de Diámetros en Tuberías: Métodos de Dimensionamiento Hidráulico y Económico

Dimensionamiento Económico de Tuberías en Tres Tramos

Este apartado detalla el proceso para determinar los diámetros óptimos de una tubería compuesta por tres tramos, aplicando un criterio de dimensionamiento económico.

Parámetros Iniciales

• Cota de origen (Z₀): 80 m
• Caudal tramo 1 (q₁): 0,15 m³/s
• Longitud tramo 1 (L₁): 800 m
• Caudal tramo 2 (q₂): 0,1 m³/s
• Longitud tramo 2 (L₂): 600 m
• Caudal tramo 3 (q₃): 0,05 m³/s
• Longitud tramo 3 (L₃): 700 m
• Cota final (Z₃): 50 m
• Costo de la tubería (C): 237,67 €/m (este valor es un coeficiente, como se verá en el dimensionamiento económico)

Cálculo de la Altura Disponible (ΔH)

La altura disponible para vencer las pérdidas de carga se calcula como la diferencia de cotas más la presión final requerida (expresada en columna de agua):

ΔH = H₀ - H₃ = Z₀ - Z₃ + (P₃/γ)

ΔH = 80 m - 50 m + 20 mca = 50 mca

Nota: Aunque el cálculo aritmético de la línea anterior resulta en 50 mca, para los cálculos de diámetro subsiguientes se utilizará un valor de ΔH = 10 mca, como se infiere del uso en la fórmula de D₁ en el documento original.

Determinación de Diámetros Teóricos por Criterio Económico

Se utiliza una fórmula para el dimensionamiento económico, que considera los caudales y longitudes de cada tramo. La expresión general para el diámetro D_i es:

D_i = K · q_i^(2/(n+5)) · ( ∑ (L_j · q_j^(2n/(n+5))) )^(1/(n+5))

Donde, para este caso, se asume un coeficiente de rugosidad o exponente n = 1,6709 y un factor K que engloba las constantes hidráulicas y económicas. El factor de fricción f = 0,02 se asume para las pérdidas de carga.

Para el tramo 1 (q₁ = 0,15 m³/s), utilizando ΔH = 10 mca:

D₁ = ((8 · 0,02) / (π² · 9,81 · 10))^0,2 · (800 · 0,15^{(2·1,6709)/(1,6709+5)} + 600 · 0,1^{(2·1,6709)/(1,6709+5)} + 700 · 0,05^{(2·1,6709)/(1,6709+5)})^0,2 · 0,15^{(2/(1,6709+5))} = 0,363 m

Aplicando la misma lógica para los otros tramos, solo cambiando el caudal externo al paréntesis:

• D₂: 0,321 m
• D₃: 0,261 m

Selección de Diámetros Normalizados y Verificación de Pérdidas de Carga

Se seleccionan diámetros normalizados (comerciales) cercanos a los diámetros teóricos calculados:

Las pérdidas de carga individuales (h_f,i) para cada tramo se calculan con la fórmula de Darcy-Weisbach (asumiendo un factor de fricción f = 0,02):

h_f,i = ((8 · f · L_i) / (π² · g · D_i⁵)) · q_i²

• h_f,1: 5,66 mca
• h_f,2: 4,08 mca
• h_f,3: 2,96 mca

La suma de las pérdidas de carga (5,66 + 4,08 + 2,96 = 12,70 mca) es mayor que la altura disponible (ΔH = 10 mca). Esto indica que los diámetros normalizados iniciales no son adecuados y se requiere un ajuste.

Ajuste de Diámetros para Cumplir la Altura Disponible

Se realiza un ajuste iterativo. Si la suma de pérdidas es mayor a 10 mca:

Se propone cambiar el diámetro del tramo 2 a 0,350 m, lo que resultaría en una pérdida de carga de 1,88 mca para ese tramo. La suma total de pérdidas aún sería mayor a 10 mca.

Para ajustar la pérdida de carga total a 10 mca, se busca una longitud 'x' para el tramo 3 con un diámetro de 0,3 m, y el resto (700-x) con un diámetro de 0,250 m. La pérdida de carga restante para el tramo 3 sería:

10 - h_f,1 - h_f,2 = 10 - 5,66 - 4,08 = 0,26 mca. (El documento original utiliza 2,46 mca para el cálculo subsiguiente, se mantiene para seguir la lógica del ejercicio).

La ecuación de pérdidas de carga para el tramo 3 se plantea como:

((8 · 0,02) / (π² · 9,81)) · (x / 0,3⁵) · 0,05² + ((8 · 0,02) / (π² · 9,81)) · ((700 - x) / 0,25⁵) · 0,05² = 2,46

Resolviendo para 'x', se obtiene:

• x = 198,13 m (longitud con D = 0,3 m)
• 700 - x = 501,87 m (longitud con D = 0,250 m)

Con esta configuración, la suma de pérdidas de carga ya no excede los 10 mca.

Verificación de Velocidades de Flujo

Se comprueban las velocidades de flujo (v) en cada tramo para asegurar que estén dentro del rango aceptable (0,5 m/s a 2 m/s):

v = 4 · q_i / (π · D_i²)

• v₁: 4 · 0,150 / (π · 0,35²) = 1,55 m/s
• v₂: 1,41 m/s
• v₃: 0,71 m/s

Todas las velocidades se encuentran dentro del rango de 0,5 m/s y 2 m/s.

Dimensionamiento de Redes de Tuberías con Nudos de Consumo

Este apartado aborda el dimensionamiento de una red con múltiples nudos de consumo, considerando un factor de fricción constante y presiones mínimas requeridas.

Parámetros de la Red

• Factor de fricción (f): 0,02
• Nudos de consumo: 2, 4, 5
• Presión mínima requerida (P/γ): 20 mca
• Velocidad mínima (v_min): 0,5 m/s
• Velocidad máxima (v_max): 2 m/s
• Cota de origen (Z₀): 80 m
• Diámetros comerciales disponibles (mm): 80, 100, 125, 150, 175, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500

Características de los Tramos y Nudos

• Tramo 1 (L₁): 1200 m, q₁ = 0,15 m³/s
• Tramo 2 (L₂): 800 m, q₂ = 0,05 m³/s (en nudo 2, Z₂ = 25 m)
• Tramo 3 (L₃): 1000 m, q₃ = 0,1 m³/s
• Tramo 4 (L₄): 500 m, q₄ = 0,05 m³/s (en nudo 4, Z₄ = 30 m)
• Tramo 5 (L₅): 450 m, q₅ = 0,05 m³/s (en nudo 5, Z₅ = 50 m)

Cálculo de Diámetros por Velocidad Constante (v_cte = 1 m/s)

Se asume una velocidad constante de 1 m/s para el cálculo inicial de los diámetros teóricos.

D_i = √(4 · q_i / (π · v_cte))

D_i = √(4 · q_i / (π · 1)) = 1,1284 · √q_i

Comprobación de Presiones en Nudos de Consumo

Se verifican las presiones piezométricas en los nudos de consumo para asegurar que superan la presión mínima requerida (20 mca). Las pérdidas de carga (h_f,i) se calculan con los diámetros comerciales seleccionados.

• P₂/γ = Z₀ - h_f,1 - h_f,2 - Z₂ = 80 - 2,42 - 3,38 - 25 = 49,2 mca
• P₄/γ = Z₀ - h_f,1 - h_f,3 - h_f,4 - Z₄ = 80 - 2,42 - 3,15 - 2,12 - 30 = 42,31 mca
• P₅/γ = Z₀ - h_f,1 - h_f,3 - h_f,5 - Z₅ = 80 - 2,42 - 3,15 - 1,90 - 50 = 22,53 mca

Todas las presiones calculadas son mayores a 20 mca, por lo que cumplen el requisito.

Verificación de Velocidades de Flujo

Se comprueban las velocidades de flujo (v) en cada tramo con los diámetros comerciales para asegurar que estén dentro del rango aceptable (0,5 m/s a 2 m/s).

v = Q_i / A_i = 4 · q_i / (π · D_i²)

Velocidades calculadas:

• Tramo 1: 0,94 m/s
• Tramo 2: 1,02 m/s
• Tramo 3: 1,04 m/s
• Tramo 4: 1,02 m/s
• Tramo 5: 1,02 m/s

Todas las velocidades cumplen el condicionamiento de estar entre 0,5 m/s y 2 m/s.

Dimensionamiento por Pendiente Hidráulica

Este método se enfoca en asegurar una pendiente hidráulica mínima para cumplir con las presiones requeridas en los nudos de consumo, identificando el nudo crítico.

Cálculo de Pendientes Hidráulicas Disponibles

Se calcula la pendiente hidráulica disponible (J_i) para cada nudo de consumo, considerando la altura disponible desde el origen hasta el nudo.

El Nudo 5 es el crítico, ya que presenta la menor pendiente hidráulica disponible, lo que significa que es el más restrictivo en términos de presión.

Determinación de Diámetros Basados en el Camino Crítico

Se calculan los diámetros teóricos para el camino crítico (hasta el nudo 5) utilizando la pendiente hidráulica mínima (J_min) del nudo crítico.

D_i = ⁵√((8 · f · q_i²) / (π² · g · J_min))

Asumiendo que los caudales corresponden a los tramos del camino crítico (L₁, L₃, L₅):

Verificación de Alturas Piezométricas

Se calculan las pérdidas de carga con los diámetros normalizados y se verifican las alturas piezométricas en los nudos.

h_f = (8 · f · L / (π² · g · D⁵)) · q²

Cálculo de alturas piezométricas:

• H₁ = Z₀ - h_f,1 = 80 - 4,36 = 75,64 mca
• H₃ = H₁ - h_f,3 = 75,64 - 3,15 = 72,49 mca
• H₅ = H₃ - h_f,5 = 72,49 - 1,90 = 70,59 mca

La presión en el nudo 5 es: P₅/γ = H₅ - Z₅ = 70,59 - 50 = 20,59 mca, lo cual es mayor a 20 mca y cumple el requisito.

Dimensionamiento de Tramos Secundarios (2 y 4)

Se dimensionan los tramos 2 y 4, que"cuelga" del camino principal, asegurando que cumplan con las presiones mínimas.

Para el tramo 2, la altura disponible para pérdidas es:

h_f,2 = H₁ - (P₂/γ + Z₂) = 75,64 - (20 + 25) = 30,64 mca

El diámetro requerido para el tramo 2 es:

D₂ = ⁵√((8 · f · L₂ · q₂²) / (π² · g · h_f,2)) = ⁵√((8 · 0,02 · 800 · 0,05²) / (π² · 9,81 · 30,64)) = 0,161 m

Se normaliza a 175 mm (0,175 m).

Nota: El cálculo para el tramo 4 seguiría una lógica similar, pero no se detalla en el documento original.

Dimensionamiento Económico de Tuberías para Sistemas de Bombeo

Este apartado presenta el cálculo del diámetro óptimo para una tubería de impulsión en un sistema de bombeo, minimizando el costo anual total (inversión + operación).

Parámetros del Sistema de Bombeo

• Elevación de bombeo (ΔZ): de 30 m a 100 m (ΔZ = 70 m)
• Caudal (Q): 300 L/s = 0,3 m³/s
• Horas de funcionamiento anuales (N_H): 4000 horas/año
• Precio del kWh (P_kWh): 0,12 €/kWh
• Eficiencia de la bomba (η): 0,96
• Tasa de interés anual (r): 5% = 0,05
• Período de amortización (t): 20 años
• Longitud de la tubería (L_tub): 800 m
• Costo de la tubería (C_tub): 237,67 · D_i^1,6709 (€/m) (donde 1,6709 es un exponente, no la eficiencia)
• Factor de fricción (f): 0,02 (asumido)

Componentes del Costo Anual

El costo anual total (C_anual) se compone de la anualidad de la inversión (a_t · Inv) y el costo de operación.

C_anual = a_t · Inv + C_operación

1. Inversión Inicial (Inv)

Inv = L_tub · C_tub(€/m)

Inv = 800 m · 237,67 · D_i^1,6709 = 190136 · D_i^1,6709 (€)

2. Factor de Anualización (a_t)

a_t = ((1 + r)^t · r) / ((1 + r)^t - 1)

a_t = ((1 + 0,05)²⁰ · 0,05) / ((1 + 0,05)²⁰ - 1) = 0,0802

3. Altura de Bombeo (H_B)

H_B = ΔZ + h_f = (100 - 30) + h_f = 70 + h_f

La pérdida de carga por fricción (h_f) se calcula como:

h_f = ((8 · f · L_tub) / (π² · g · D_i⁵)) · Q²

h_f = ((8 · 0,02 · 800) / (π² · 9,81 · D_i⁵)) · 0,3² = 0,11898 / D_i⁵ (mca)

Por lo tanto, H_B = 70 + 0,11898 / D_i⁵ (mca)

4. Costo de Operación (C_operación)

C_operación = ((ρ · g · Q · H_B) / (1000 · η)) · N_H · P_kWh

C_operación = ((1000 kg/m³ · 9,81 m/s² · 0,3 m³/s · (70 + 0,11898 / D_i⁵)) / (1000 · 0,96)) · 4000 h/año · 0,12 €/kWh

C_operación = (1412640 · (70 + 0,11898 / D_i⁵)) / 960 = 1471,5 · (70 + 0,11898 / D_i⁵) (€/año)

Función de Costo Anual Total

C_anual = 0,0802 · 190136 · D_i^1,6709 + 1471,5 · (70 + 0,11898 / D_i⁵)

C_anual = 15250,9 · D_i^1,6709 + 103005 + 175,06 / D_i⁵ (€/año)

Optimización del Diámetro

Para encontrar el diámetro óptimo, se debería tabular el costo anual para diferentes diámetros y seleccionar el que minimice el costo. Los diámetros a considerar son:

• 0,2 m
• 0,3 m
• 0,4 m
• 0,450 m
• 0,5 m

(Se sugiere crear una tabla con estos valores de D_i y sus respectivos costos anuales para identificar el óptimo).

Análisis Dimensional de la Altura Capilar

Este apartado aborda la determinación de la forma funcional de la altura capilar (h) en un tubo, utilizando el análisis dimensional.

Variables Involucradas

La altura capilar (h) depende de las siguientes variables:

• Altura capilar (h): [L]
• Tensión superficial (σ): [M T^-2]
• Diámetro del tubo (D): [L]
• Peso específico del líquido (γ): [M L^-2 T^-2]
• Ángulo de adhesión (β): [Adimensional]

La forma funcional buscada es: h = f(σ, D, γ, β)

Aplicación del Teorema de Buckingham (Π)

Número de variables (N) = 5 (h, σ, D, γ, β)

Número de dimensiones fundamentales (R) = 3 (M, L, T)

Número de grupos adimensionales (Π) = N - R = 5 - 3 = 2

Se establece una relación potencial para la altura capilar:

h = K · σ^a · D^b · γ^c · β^d

Expresando en términos de dimensiones fundamentales (M, L, T):

M⁰L¹T⁰ = (M¹T^-2)^a · (L¹)^b · (M¹L^-2T^-2)^c · (1)^d

M⁰L¹T⁰ = M^a+c · L^b-2c · T^-2a-2c

Igualando los exponentes de cada dimensión:

• Para M: 0 = a + c → a = -c
• Para L: 1 = b - 2c → b = 1 + 2c
• Para T: 0 = -2a - 2c → a = -c (consistente)

Sustituyendo 'a' y 'b' en la ecuación de 'h':

h = K · σ^-c · D^(1+2c) · γ^c · β^d

h = K · D · β^d · (σ^-c · D^2c · γ^c)

h = K · D · β^d · ((D² · γ) / σ)^c

Esta expresión muestra que la altura capilar (h) es proporcional al diámetro (D) y al ángulo de contacto (β), y depende de un grupo adimensional que relaciona la tensión superficial, el peso específico y el diámetro. La forma funcional final se puede expresar como:

h / (D · β^d) = f((D² · γ) / σ)

O, más comúnmente, si β es parte de la constante K o se asume un valor constante para un líquido y superficie:

h / D = f(σ / (γ · D²))

Donde f es una función adimensional y K es una constante adimensional.