Optimización de Decisiones: Métodos Cuantitativos y Actitud al Riesgo

Problema 1: Decisión con Información Incompleta

Se presentan dos alternativas. Se conoce la probabilidad de un estado (x). Posteriormente, se consulta a un analista no 100% fiable que proporciona las probabilidades de ocurrencia de los estados. Si el analista indica que ocurrirá un estado específico, ¿qué decisión se debe tomar?

Cálculo de Probabilidades a Posteriori

• Se aplica el concepto de probabilidad condicional. Primero, se definen x1 y x2 como las dos posibles indicaciones del analista. Se calculan las probabilidades condicionales, por ejemplo, P(x1|q1) y P(x2|q2).
• Se construye una tabla de probabilidades con las siguientes columnas: qi (estados), P(qi) (probabilidad a priori de los estados), P(xi|qi) (probabilidad de la indicación del analista dado el estado), P(qi)*P(xi|qi) (probabilidad conjunta), y P(qi|xi) (probabilidad a posteriori de los estados, calculada dividiendo la probabilidad conjunta entre la suma de la columna anterior).
• Se calcula el valor esperado para cada alternativa (E(a1|xi) y E(a2|xi)) utilizando la matriz de resultados y las probabilidades a posteriori. Si se trata de beneficios, se elige la alternativa con el mayor valor esperado.

Problema 2: Valor de la Información Imperfecta

¿Cuánto se está dispuesto a pagar al analista?

• Para determinar cuánto se está dispuesto a pagar al analista, se repite el proceso de cálculo de valores esperados, considerando la información de la otra indicación (X).
• Se calcula el Rendimiento Esperado con Información Imperfecta (REII), que es la suma ponderada de los mejores valores esperados para cada indicación del analista.
• Previamente, se debe haber calculado el Rendimiento Esperado sin Información (RER).
• Finalmente, el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII) se obtiene restando el RER al REII: VEII = REII - RER.

Problema 3: Comparación de Analistas y Valor de la Información Perfecta

Se compara el analista actual con uno nuevo que siempre acierta, considerando el coste de cada uno.

• Se calcula el Rendimiento Esperado con Información Perfecta (REIP), que se obtiene multiplicando la probabilidad inicial de cada estado por el mejor resultado posible para ese estado en la matriz de decisión y sumando estos productos.
• El Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) es la diferencia entre el REIP y el RER: VEIP = REIP - RER.
• Para decidir cuál analista es mejor, se compara el valor neto de cada uno: (VEIP - coste del analista perfecto) versus (VEII - coste del analista imperfecto), eligiendo el mayor.

Problema 4: Matriz de Ingresos Esperados con Decisiones Aleatorias

Si al decisor se le presentan decisiones aleatorias (a1' y a2'), ¿cómo se construye la matriz de ingresos esperados?

• Para cada decisión aleatoria (ej. a1'), se calcula el valor esperado para cada estado (q1, q2), multiplicando el porcentaje de la decisión aleatoria por los valores de la matriz inicial.
• Se repite el proceso para a2'.
• Finalmente, se crea una nueva matriz con estos valores esperados en las filas.

Problema 5: Evaluación del Riesgo en Reglas de Decisión Aleatorias

¿El decisor se plantea tomar la decisión utilizando una regla de decisión aleatoria?

1. Se evalúa el riesgo para cada estado (q1, q2) bajo la regla aleatoria (Y). Por ejemplo, R(Y,q1) = P(x1|q1) * (valor de a1' en la nueva matriz con q1) + P(x2|q1) * (valor de a2' con q1). Se aplica el mismo cálculo para R(Y,q2).
2. Se determina el riesgo medio (R_medio) como la suma ponderada de los riesgos por estado, por ejemplo, R_medio = P(q1) * R(Y,q1) + P(q2) * R(Y,q2).

Problema 6: Criterio del Coste de Oportunidad (Savage)

Cuando se tienen datos sin probabilidades asociadas (decisión bajo incertidumbre), ¿cómo se aplica el criterio del Coste de Oportunidad?

1. Se identifican los máximos y mínimos para cada alternativa (a1, a2).
2. Se construye una matriz de costes de oportunidad (o arrepentimiento). Para cada estado, se resta el valor de cada alternativa del mejor valor posible para ese estado (si son beneficios, el mayor; si son costes, el menor). Se utiliza el valor absoluto.
3. Aplicando el criterio Minimax de Savage (para situaciones desfavorables), se elige la alternativa que minimice el máximo coste de oportunidad. Es decir, se encuentra el máximo coste de oportunidad para cada alternativa y luego se selecciona la alternativa con el menor de estos máximos.

Problema 7: Criterio de Hurwicz (Coeficiente de Optimismo)

Si se aplica el criterio de Hurwicz (coeficiente de optimismo), donde el coeficiente de optimismo (lambda) es un porcentaje dado, ¿qué alternativa se elige?

1. Se calcula el valor para cada alternativa. Para costes, se usa la fórmula: lambda * (valor mínimo de la alternativa) + (1 - lambda) * (valor máximo de la alternativa).
2. Se repite el cálculo para todas las alternativas (a1, a2, etc.).
3. Se elige la alternativa con el valor resultante más pequeño.

Problema 8: Criterio de Dominancia Estocástica

Si los estados del ejercicio anterior son equiprobables y se utiliza el criterio de dominancia estocástica, ¿qué alternativa se elige?

1. Se representa la matriz inicial.
2. Para cada alternativa (ej. a1), se construye una función de distribución acumulada de los resultados.
3. Se realiza el mismo procedimiento para la alternativa a2.
4. Una alternativa domina estocásticamente a otra si ofrece una mayor probabilidad de obtener resultados superiores o iguales en todos los niveles.

Problema 9: Árbol de Decisión y Valor de la Información Perfecta

Para un árbol de decisión donde se considera consultar a un vidente que siempre acierta sobre un estado (q):

1. Se calcula el Rendimiento Esperado sin Información (RER), identificando la mejor alternativa sin información adicional.
2. Se construye el árbol de decisión. En los nodos de decisión, se evalúan las alternativas. En los nodos de probabilidad, se calculan los valores esperados.
3. Para calcular el Rendimiento Esperado con Información Perfecta (REIP), se considera el valor máximo que se obtendría si se conociera el estado de antemano. Esto se calcula como la suma ponderada de los mejores resultados para cada estado, multiplicados por la probabilidad de ese estado.
4. El Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) se calcula como la diferencia entre el REIP y el RER: VEIP = REIP - RER. Este valor representa el máximo que se está dispuesto a pagar por la información perfecta.

Problema 10: Actitud del Decisor frente al Riesgo

Dada una lotería A y un equivalente de certeza (C), ¿cuál es la actitud del decisor?

1. Se calcula el valor esperado de la lotería (E(A)) multiplicando cada resultado por su probabilidad y sumando los productos.
2. Se compara el E(A) con el equivalente de certeza (C):

• Si E(A) > C, el decisor es averso al riesgo.
• Si E(A) < C, el decisor es propenso al riesgo.
• Si E(A) = C, el decisor es neutral al riesgo.

Problema 11: Cálculo de Función de Utilidad Equivalente

Dada una función de utilidad v(x) definida en un intervalo, ¿cómo se calcula una función de utilidad equivalente u(x) que mapee a un rango específico (ej. [0, 1])?

1. Se establece la relación lineal u(x) = a * v(x) + b, donde a > 0.
2. Se utilizan dos puntos de referencia del intervalo de v(x) y sus correspondientes valores deseados en el rango de u(x). Por ejemplo, si se desea que u(x) vaya de 0 a 1, se establecen dos ecuaciones:

• 0 = a * v(valor_mínimo_intervalo) + b
• 1 = a * v(valor_máximo_intervalo) + b

Se resuelve el sistema de ecuaciones para despejar los valores de a y b. Finalmente, se sustituyen a y b en la ecuación u(x) = a * v(x) + b para obtener la función de utilidad equivalente.

Problema 12: Determinación de la Actitud al Riesgo y Coeficiente de Aversión

Dada una función de utilidad w(x) y un intervalo, ¿cómo se determina la actitud del decisor frente al riesgo?

1. Se calcula la segunda derivada (w''(x)) de la función de utilidad:

• Si w''(x) > 0, el decisor es propenso al riesgo.
• Si w''(x) < 0, el decisor es averso al riesgo.
• Si w''(x) = 0, el decisor es neutral al riesgo.

Se calcula el coeficiente de aversión absoluta al riesgo (r_w), dado por la fórmula: r_w = -w''(x) / w'(x). Se evalúa r_w para un valor dentro del intervalo dado:

• Si r_w > 0, el decisor es averso al riesgo.
• Si r_w < 0, el decisor es propenso al riesgo.
• Si r_w = 0, el decisor es neutral al riesgo.

Si se comparan dos funciones de utilidad, la que tenga un coeficiente de aversión al riesgo más negativo (o menos positivo) será la más propensa al riesgo.