Optimización de funciones

Limites - Indeterminaciones

 Para resolver esta indeterminacion:

1. Comparando infinitos

2. Si son funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

3. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

Para resolver...

1. Comparacion de infinitos

2. Con funciones raciones, comun denominador

3. Cuando tienen raices, multiplicamos por el conjugado

1. Funcion racional sin radicales: Se descomponen en factores y se simplifica la fracción.

2. Funcion racional con radicales: Conjugado

Para resolverla se transforma la exp a una potencia del numero e.

Continuidad en un intervalo

Una función se dice que es continua en un intervalo de R si es continua en cada pto del intervalo.

Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua (a,b) y signo de f(a) no es igual al signo de f(b) existe un número que f(c)=0

Teorema de Weierstrass

Si f(x) es continua (a,b) tiene un max y min absolutos en ese intervalo

Continuidad de una función en un pto

Discontinuidad de funciones

1. Discontinuidad evitable

- No existe imagen

- La imagen no coincide con el limite

Para arreglarla redefinir funcion en el punto

2. Discontinuidad inevitable

- De salto infinito o finito

3. Esencial

- Ocurre si no existe algún limite lateral.

Derivada

La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la funcion en ese punto.

Derivada de función a trozos

En estas funciones se estudian las derivadas laterales en los puntos de separación, si coinciden las derivadas laterales en x=a se dice que la función es derivable en x=a

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x=a entonces es continua en x=a

Para estudiar derivabilidad

1. Se estudia continuidad

2. Derivabilidad

- Derivadas laterales

- Si son iguales es derivable

Calculo de derivadas

Recta tg

Para la pendiente se deriva y sale

La ecuacion de la recta tg es

Recta normal

La pendiente de la recta normal es la inverse de la tg

Calculo intervalos de crecimiento y decrecimiento

1. Derivo función

2. Obtener raices de derivada primero f'(x)=0

3. Se forman intervalos abiertos en raices y ptos discontinuidad

4. Tomamos un valor de cada intervalo y hallamos signo

f'(a)>0 ---- Decreciente

f'(a)<0 ----="">0>

5. Se escriben los intervalos

Calculo max y min

1. Hallamos la derivada primera y raices

2. 2ª derivada y calculamos signo qe toman en ella los ceros de la derivada primera.

3. Calculamos imagen de estos extremos relativos

Calculo concavidad y convexidad

1. Hallamos derivada segunda y calculamos raices

2. Formamos intervalos abiertos en ceros y ptos de discontinuidad

3. Calculamos signo de estos intervalos en derivada segunda

si f''(x)>0 concava

si f''(x)<0 convexa="">0>

4. Escribimos intervalos

Calculo ptos inflexión

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos raices

2. Realizamos derivada 3ª y calculamos signo qe toman los ceros de la derivada segunda si f''' no es igual a 0 existe pto inflexion

3. Calculamos imagen del punto de inflexión

Optimización

1. Se platnea la funcion qe hay qe max o min

2. Se plantea ecuacion qe relacione variables

3. Despejar y sustituir pa qe qede una variable

4. Se deriva la funcion y se iguala a cero, para hallar extremos locales