Optimización y Cálculo en Economía: Guía Práctica

Conceptos Clave de Matemáticas Aplicadas a la Economía

Optimización y Cálculo de Beneficios

• Extremos Relativos: P'(x) = 0. Los valores resultantes se sustituyen en P''(x). Si el resultado es negativo, es un máximo; si es positivo, es un mínimo.
• Extremos Absolutos: Sustituimos los valores de x en la función P(x) que han resultado de P'(x) = 0 y de algún punto.
• Unidades para el Máximo Beneficio: B(q) = p*q - C(x). Luego, B'(x) = 0.
• Precio por Unidad: Sustituimos el resultado anterior en p(x).
• Importe Máximo Beneficio: En B(q), sustituimos el valor del máximo beneficio.

Análisis de la Demanda y Costos

• % Demanda: E(p) * (% de cambio de precio).
• Mínimo de Unidades: Cp = C(x) / x. Después, Cp'(x) = 0 y para comprobar, C''(x) = 0. Sustituimos el valor que nos ha salido en la prima; si da positivo, es un mínimo.
• Coincidencia de Coste Marginal y Promedio: Se sustituye el valor en Cp y C'(x).

Elasticidad y Equilibrio del Mercado

• Elasticidad: E(q) = p / q / p' = -q * p' / p. E(p) = q / p / q'. > 1 → Elástica; < 1 → Inelástica.
• Punto de Equilibrio (P.E): O(q) = D(q). Lo que salga son las unidades y, si se sustituye el valor en O(q), nos sale el precio.
• Excedente del Consumidor: Integral de D(q) - p.
• Excedente del Productor: Integral de p - O(q).
• Ingresos: I(q) = q * p(q).

Optimización con Dos Variables

• Extremos Relativos (2 Variables): (Puntos críticos). Determinar para qué valores se tiene una producción máxima.
• Paso 1: Calcular df/dx = 0 y df/dy = 0. Las soluciones del sistema serán posibles máximos y mínimos.
• Paso 2: Las soluciones se sustituyen en el determinante Hessiano para comprobar cuáles son extremos. Si N < 0, es un punto de silla. Si N > 0 (Positivo), hay extremo. Si el primer cuadrado del determinante es Negativo, hay máximo relativo; si es Positivo, hay un mínimo.

Gradiente Direccional y Derivada Direccional

• Gradiente Direccional: νf(x,y) = (df/dx, df/dy) → General. El punto que me den lo sustituyo ahí.
• Cuando tienes el punto y el vector (a veces dan dos puntos y hay que restarlos para sacar el vector): Derivada Direccional = vf(x,y) * vector (a,b) / raíz de a² + b².

Beneficios con Dos Funciones de Precio

• B(x,y) = x*Px + y*Py - C(x,y): Se utiliza cuando hay dos funciones de precio y C(x,y). dB/dx = 0 y dB/dy = 0. Para obtener x e y, hacemos un sistema de ecuaciones.
• Comprobación: Hacemos el Hessiano y de los resultados que obtenemos son las unidades de a y b para el máximo beneficio. Para sacar el máximo beneficio, sustituimos en B(x,y), y para el precio, sustituimos x e y en Px y Py.
• Beneficios Marginales: En dB/dx y dB/dy sustituimos x e y. El resultado de este apartado se explica: Cuando aumentamos en una unidad la producción de x y mantenemos cte y aumenta/disminuye el Bº, y con la y se explica igual.

Homogeneidad y Teorema de Euler

• Homogeneidad: f(x, y) → f(tx, ty). Sacar factor común para que nos dé la n.
• Teorema de Euler: n * f(x, y) = x * df/dx + y * df/dy. Cuando pregunta si aumenta la producción, 1.05ⁿ * f(x,y).

Modelo de Leontief

• Cuando me dan el enunciado para formar la matriz: Modelo Leontief (I - A)X = D. A = matriz de coef. tecnológico. X = matriz prod. D = (unidades que diga del producto) Matriz de demanda.
• Cuando te dan porcentajes de demanda: Es la D y la de cambio los fieles x na lo largo de los años.

Es Cⁿ y a lo largo de los años es infinito. Para esto hay que hacer la diagonalización. Uno elevado a infinito es:

Si el número es mayor que 1 elevado a infinito es infinito y si es menor que 0 es 0.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

• Cramer: Se hace el determinante de la matriz y luego se ponen los valores indep. en cada fila de la x y z. Se hace su determinante y se divide entre el de la matriz principal.
• Sistemas Compatibles/Incompatibles (Gauss): Es hacer cero por debajo de la diagonal. Sacamos el determinante; el valor que nos salga significa que los valores que sean distintos de esos son SCD. Después, los valores de a se ponen y se demuestra con cada uno; se tiene que hacer una fila 0000 0 y SCI o 000 K SI. tg = Senx/cosx; cotg = cos/senx; e^-∞ = 0; e^∞ = ∞; π = 180. Series → r = a2/a1; a3/a2; r = an/an-1; an = a1 * r^n-1 / 1-r.

Diagonalización

• Paso 1: Valores propios |A - λI| = 0. Sustituir en la diagonal λ restando y sacar el determinante. Los valores que salgan son la diagonal.
• Paso 2: Vectores propios. Comprobar los valores que han salido con cada uno; una fila se tiene que hacer cero y se saca la ecuación. Después, poner los vectores en columna y obtenemos la p. Hay que hacer pinversa = 1 / |D| * Padj^t → determinante tachando fila y columna y cambiando el signo + - +. Y por último, se cambian las filas por columnas. D = P^-1 * A * P. La diago → tiene que dar los valores propios y la q va para la izq da 0. Aⁿ = P * Dⁿ * P^-1.