Optimización y Análisis de Funciones: Casos Prácticos

Análisis de Audiencia Radiofónica

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio se modela mediante una función. Analicemos su comportamiento:

1. a) S(6) = 660 - 231 * 6 + 27 * 6² - 6³ = 30. Esto indica que al comenzar la emisión, un 30% de las personas sintonizan el programa.

   S(12) = 660 - 231 * 12 + 27 * 12² - 12³ = 48. Al cierre de la emisión, un 48% de las personas están sintonizando.

2. b) Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   S'(t) = -231 + 54t - 3t² = 0 ; t = 7 ; t = 11.

   Evaluamos S(t) para t = 6, 7, 11 y 12:

   S(6) = 30 ; S(7) = 23 ; S(11) = 55 ; S(12) = 48.

   El máximo de audiencia es del 55% y se alcanza a las 11 horas. El mínimo de audiencia es del 23% y se alcanza a las 7 horas.

Derivadas de Funciones Complejas

Sean las funciones: f(x) = (2x² - 1)³ ln(x⁴) y g(x) = e^-2x+x2 / (x² + 1).

1. f'(x) = 3 * (2x² - 1)² * 4x * ln(x⁴) + (4x³/x⁴) * (2x² - 1)³ ; f'(-1) = 0 + (-4/1) * 1³ = -4.

2. g'(x) = (-2 + 2x) * e^-2x+x2 * (x² + 1) - 2x * e^-2x+x2 / (x²+1)² ; g'(0) = -2 * 1 / 1 = -2.

Representación Gráfica de una Función Polinómica

Represente gráficamente la función f(x) = x³ - 6x² + 12x.

1. Dominio: Como es una función polinómica, su dominio es ℝ.

2. Corte con el eje X: y = 0 ; x³ - 6x² + 12x = 0 ; x = 0. Luego, corta en el punto (0, 0).

3. Corte con el eje Y: x = 0 ; y = 0. Luego, corta en el punto (0, 0).

4. Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = 3x² - 12x + 12 = 0 ; x = 2.

   La función es creciente en el intervalo: (-∞, 2) ∪ (2, +∞). Por lo tanto, la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

5. Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f''(x) = 6x - 12 = 0 ; x = 2.

   La función es cóncava en el intervalo: (-∞, 2) y convexa en el intervalo (2, +∞). Por lo tanto, tiene un punto de inflexión en (2, 8).

Análisis de Beneficios Empresariales

Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, modelados por una función.

1. a) B(0) = -6. Esto indica que para t = 0, la empresa ha tenido unas pérdidas de 6.000 €.

   B(10) = 14. Esto indica que para t = 10, la empresa ha tenido unas ganancias de 14.000 €.

2. b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   B'(t) = 6t² - 72t + 162 = 0 ; t = 3 ; t = 9.

   Calculamos los valores de B(t) para t = 0, 3, 9 y 10:

   B(0) = -6 ; B(3) = 210 ; B(9) = -6 ; B(10) = 14.

   El máximo beneficio es de 210.000 € y se alcanza para t = 3. El mínimo beneficio es de -6.000 € y se alcanza para t = 0 y t = 9.

Determinación de Parámetros y Recta Tangente

Sea la función f(x) = -x² + px + q.

1. a) Calculamos la derivada de la función: f'(x) = -2x + p y aplicamos los datos del problema:

   • Pasa por (-4, -5) ; -5 = -16 - 4p + q ; 4p - q = -11.
   • Máximo en x = -1 ; f'(-1) = 0 ; 2 + p = 0 ; p = -2.

   Sustituyendo en la otra ecuación tenemos que: -8 - q = -11 ; q = 3.

   El valor de f(x) en ese punto es: f(-1) = -(-1)² - 2 * (-1) + 3 = 4.

2. b) Representamos la función para p = 2 y q = -1. Calculamos la recta tangente en x = -2:

   f(-2) = -(-2)² + 2(-2) - 1 = -9.

   f'(x) = -2x + 2 ; f'(-2) = -2(-2) + 2 = 6.

   y - f(-2) = f'(-2)(x + 2) ; y + 9 = 6(x + 2) ; y = 6x + 3.